8.2 Распределение Пуассона при радиометрических измерениях

В главе 3 отмечалось, что радиоактивный распада является случайным процессом, а число распадов за некоторый интервал времени n является случайной величиной, которая распределена по закону биноминального распределения. Если за время распада изменением числа радиоактивных ядер можно пренебречь, то биноминальное распределение переходит в распределение Пуассона, для которого вероятность распада n ядер выражается уравнением (3.19).

При регистрации радиоактивного излучения уравнение (3.19) переходит в аналогичное:

, (8.1)

где P(n) – вероятность регистрации n импульсов;

– математическое ожидание (среднее значение) числа импульсов.

Замечательным свойством распределения Пуассона является равенство математического ожидания и дисперсии

. (8.2)

Из уравнения (8.2) следует, что при регистрации радиоактивного излучения нет необходимости дополнительного определения дисперсии измеряемой величины: одно измерение позволяет одновременно определить и измеряемую величину, и ее дисперсию. Необходимо отметить, что распределению Пуассона подчиняется только число измеряемых импульсов n, а не скорость счета или другие величины, рассчитываемые по значениям n.

Распределение Пуассона является дискретным и несимметричным относительно среднего значения. Однако уже при ñ=30 оно с хорошей точностью может быть аппроксимировано нормальным распределением. Тогда можно построить доверительный интервал для числа зарегистрированных импульсов

, (8.3)

где u_p – квантиль нормального распределения для доверительной вероятности P;

σ – стандартное среднеквадратичное отклонение, которое в соответствии с (9.2) равно .

В табл. 8.1 приведены значения квантилей u_p, доверительных вероятностей P и название соответствующих видов ошибок.

Таблица 8.1 – Доверительная вероятность, квантили нормального распределения и названия соответствующих ошибок.

P	0,6827	0,900	0,950
Название	Стандартная ошибка	90 %-ошибка	95 %-ошибка
u_P	1,000	1,645	1,960

8.3 Погрешность скорости счета

Целью радиометрических измерений является скорость счета препарата І_п, которую вычисляют как разность скоростей счета препарата с фоном І_пф и фона І_ф по уравнению:

, (8.4)

где n_пф и t_пф – число зарегистрированных импульсов и время измерения препарата с фоном;

n_ф и t_ф – число зарегистрированных импульсов и время измерения фона, при этом точность измерения времени значительно превосходит точность числа зарегистрированных импульсов.

Для определения погрешности или ошибки скорости счета используются свойства функции Y, которая является линейной комбинацией двух случайных величин x₁ и x₂, распределенных по нормальному закону:

. (8.5)