Приближение формулами Ньютона
Входные параметры: N - число узлов интерполяции; y - массив размерности n, содержащий значения функции в узлах интерполяции; x-массив размерности n, содержащий значения узлов интерполяции; q-точка в которой вычисляем значения функции интерполяции.
Выходные параметры: приближенное значение функции в точке q; графическая интерпретация результата.
Схема алгоритма приведена на рисунке 8.
Задание. Аппроксимировать табличную функцию с помощью формул Ньютона.
xi |
yi |
xi |
yi |
1 |
2,05 |
6 |
1,88 |
2 |
1,94 |
7 |
1,71 |
3 |
1,92 |
8 |
1,60 |
4 |
1,87 |
9 |
1,56 |
5 |
1,77 |
10 |
1,40 |
Текст программы:
function PribNew(n:integer;a,b:TVector;x:Real):real;
function GetRazdRazn(k,l:integer;m:TMatr):real;
begin
GetRazdRazn:=m[k,l-k+1];
end;
var i,j:integer; s,p:real; M:tmatr;
begin
TabRazdRazn(n,a,b,M);
S:=b[1];
for i:=1 to N-1 do
begin
P:=1;
for j:=1 to i do
P:=P*(x-a[j]);
s:=s+P*GetRazdRazn(1,i+1,m);
end;
PribNew:=s;
end;
Вычисления по программе привели к следующим результатам:
X=1 Y=2,05
X=1,5 Y=2,38
X=2 Y=1,94
X=2,5 Y=1,83
X=3 Y=1,92
X=3,5 Y=1,94
X=4 Y=1,87
X=4,5 Y=1,78
X=5 Y=1,77
X=5,5 Y=1,83
X=6 Y=1,88
X=6,5 Y=1,83
X=7 Y=1,71
X=7,5 Y=1,59
X=8 Y=1,6
X=8,5 Y=1,67
X=9 Y=1,56
X=9,5 Y=1,09
X=10 Y=1,4
Рисунок 8 - Приближение функций формулами Ньютона
Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
Входные параметры: N - число узлов интерполяции; y - массив размерности n, содержащий значения функции в узлах интерполяции; x-массив размерности n, содержащий значения узлов интерполяции; q-точка в которой вычисляем значения функции интерполяции.
Выходные параметры: приближенное значение функции в точке q; графическая интерпретация результата.
Схема алгоритма приведена на рисунке 9.
Задание. Аппроксимировать табличную функцию многочленом второй степени методом наименьших квадратов.
xi |
yi |
xi |
yi |
|
1 |
2,05 |
6 |
1,88 |
|
2 |
1,94 |
7 |
1,71 |
|
3 |
1,92 |
8 |
1,60 |
|
4 |
1,87 |
9 |
1,56 |
|
5 |
1,77 |
10 |
1,40 |
|
Текст программы:
function Apr_Kv(n:integer;x,y:TVector;q:real):real;
var i,j:integer;
a:TMatr;
b,c:TVector;
s:real;
begin
a[1,1]:=N;
s:=0;
for i:=1 to N do
s:=s+x[i];
a[1,2]:=s;
a[2,1]:=s;
s:=0;
for i:=1 to N do
s:=s+x[i]*x[i];
a[1,3]:=s;
a[2,2]:=s;
a[3,1]:=s;
s:=0;
for i:=1 to N do
s:=s+x[i]*x[i]*x[i];
a[2,3]:=s;
a[3,2]:=s;
s:=0;
for i:=1 to N do
s:=s+x[i]*x[i]*x[i]*X[i];
a[3,3]:=s;
s:=0;
for i:=1to N do s:=s+y[i];
b[1]:=s;
s:=0;
for i:=1 to N do s:=s+y[i]*x[i];
b[2]:=s;
s:=0;
for i:=1 to N do s:=s+y[i]*x[i]*x[i];
b[3]:=s;
j:=N;
N:=3;
LinSys(n,a,b,c);
Apr_kv:=c[1]+c[2]*q+c[3]*q*q;
N:=j;
for i:=0 to N-1 do
begin a:=apr_kv(x,y,i/10);
end;
Вычисления по программе привели к следующим результатам:
A=-0,004 B=-0,0132 C=2,0147
X=1 Y=2,00
X=1,5 Y=1,99
X=2 Y=1,97
X=2,5 Y=1,95
X=3 Y=1,93
X=3,5 Y=1,91
X=4 Y=1,89
X=4,5 Y=1,86
X=5 Y=1,83
X=5,5 Y=1,80
X=6 Y=1,77
X=6,5 Y=1,73
X=7 Y=1,70
X=7,5 Y=1,66
X=8 Y=1,62
X=8,5 Y=1,57
X=9 Y=1,53
X=9,5 Y=1,48
X=10 Y=1,43
Рисунок 9 - Схема алгоритма аппроксимации функций методом наименьших квадратов
Значения xi=i´0,1; i=1,2…20 одинаковые для всех вариантов
Таблица 3. Варианты заданий ИПР№1
|
|
|
Значения |
Yi=y(Xi) |
|
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
Вариант 5 |
1 |
2,05 |
2,09 |
2,02 |
1,99 |
2,23 |
2 |
1,94 |
2,05 |
1,98 |
2,03 |
2,29 |
3 4 |
1,92 1,87 |
2,19 2,18 |
1,67 1,65 |
2,20 2,39 |
2,27 2,62 |
5 6 |
1,77 1,88 |
2,17 2,27 |
1,57 1,42 |
2,19 2,61 |
2,72 2,82 |
7 |
1,71 |
2,58 |
1,37 |
2,35 |
3,13 |
8 |
1,60 |
2,73 |
1,07 |
2,60 |
3,49 |
9 |
1,56 |
2,82 |
0,85 |
2,55 |
3,82 |
10 |
1,40 |
3,04 |
0,48 |
2,49 |
3,95 |
11 |
1,50 |
3,03 |
0,35 |
2,50 |
4,22 |
12 |
1,26 |
3,45 |
-0,30 |
2,52 |
4,48 |
13 |
0,99 |
3,62 |
-0,61 |
2,44 |
5,06 |
14 |
0,97 |
3,85 |
-1,20 |
2,35 |
5,50 |
15 |
0,91 |
4,19 |
-1,39 |
2,26 |
5,68 |
16 |
0,71 |
4,45 |
-1,76 |
2,19 |
6,19 |
17 |
0,43 |
4,89 |
-2,28 |
2,24 |
6,42 |
18 |
0,54 |
5,06 |
-2,81 |
2,34 |
7,04 |
19 |
0,19 |
5,63 |
-3,57 |
1,96 |
7,57 |
20 |
0,01 |
5,91 |
-4,06 |
2,19 |
8,10 |
|
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
Вариант 10 |
1 |
2,18 |
-0,10 |
-0,16 |
2,09 |
2,15 |
2 |
2,43 |
-0,21 |
0,01 |
2,31 |
2,41 |
3 |
2,40 |
0,01 |
0,10 |
2,72 |
2,58 |
4 |
2,43 |
0,05 |
0,16 |
2,77 |
2,84 |
5 |
2,65 |
-0,13 |
0,05 |
2,78 |
3,28 |
6 |
2,75 |
-0,23 |
0,35 |
2,97 |
3,46 |
7 |
2,67 |
-0,21 |
0,19 |
3,00 |
4,02 |
8 |
2,66 |
-0,43 |
0,50 |
3,51 |
4,11 |
9 |
2,63 |
-0,57 |
0,74 |
3,43 |
4,61 |
10 |
2,75 |
-0,44 |
1,03 |
3,58 |
5,03 |
11 |
2,41 |
-0,44 |
1,06 |
3,58 |
5,34 |
12 |
2,24 |
-0,83 |
1,49 |
3,54 |
5,86 |
13 |
2,12 |
-0,78 |
1,79 |
3,82 |
6,33 |
14 |
1,74 |
-0,81 |
2,03 |
3,90 |
6,81 |
15 |
1,57 |
-1,06 |
2,22 |
3,77 |
7,21 |
16 |
1,17 |
-1,41 |
2,50 |
3,81 |
7,67 |
17 |
0,96 |
-1,40 |
2,88 |
4,00 |
8,23 |
18 |
0,63 |
-1,70 |
3,21 |
3,97 |
8,68 |
19 |
0,25 |
-1,96 |
3,63 |
4,08 |
9,35 |
20 |
-0,01 |
-1,91 |
3,90 |
4,08 |
9,93 |
|
Вариант 11 |
Вариант 12 |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
1 |
2,07 |
0,10 |
-0,16 |
2,09 |
2,15 |
2 |
2,17 |
-0,01 |
0,01 |
2,31 |
2,41 |
3 |
2,21 |
-0,19 |
0,10 |
2,72 |
2,58 |
4 |
2,31 |
-0,11 |
0,16 |
2,77 |
2,84 |
5 |
2,10 |
-0,31 |
0,05 |
2,78 |
3,28 |
6 |
2,09 |
-0,78 |
0,35 |
2,97 |
3,46 |
7 |
2,12 |
-0,64 |
0,19 |
3,00 |
4,02 |
8 |
1,63 |
-0,85 |
0,50 |
3,51 |
4,11 |
9 |
1,78 |
-1,18 |
0,74 |
3,43 |
4,61 |
10 |
1,52 |
-1,39 |
1,03 |
3,58 |
5,03 |
11 |
1,16 |
-1,79 |
1,06 |
3,58 |
5,34 |
12 |
1,07 |
-2,02 |
1,49 |
3,54 |
5,86 |
13 |
0,85 |
-2,48 |
1,79 |
3,82 |
6,33 |
14 |
0,56 |
-2,93 |
2,03 |
3,90 |
6,81 |
15 |
0,10 |
-3,26 |
2,22 |
3,77 |
7,21 |
16 |
-0,25 |
-3,91 |
2,50 |
3,81 |
7,67 |
17 |
-0,65 |
-4,41 |
2,88 |
4,00 |
8,23 |
18 |
-1,06 |
-4,91 |
3,21 |
3,97 |
8,68 |
19 |
-1,66 |
-5,30 |
3,63 |
4,08 |
9,35 |
20 |
-2,01 |
-6,00 |
3,90 |
4,08 |
9,93 |
|
Вариант1 6 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
Вариант 19 |
Вариант 20 |
1 |
0,08 |
-0,02 |
-0,16 |
-1,86 |
- 1,65 |
2 |
0,14 |
0,44 |
0,01 |
-1,95 |
- 2,00 |
3 |
0,37 |
0,51 |
0,10 |
-2,12 |
- 1,87 |
4 |
0,36 |
0,67 |
0,16 |
-2,06 |
- 1,89 |
5 |
0,44 |
0,69 |
0,05 |
-2,15 |
- 1,75 |
6 |
0,48 |
1,04 |
0,35 |
-2,00 |
- 1,59 |
7 |
0,27 |
1,1 |
0,19 |
-2,12 |
-1,44 |
8 |
0,39 |
1,3 |
0,50 |
-2,31 |
-1 ,61 |
9 |
0,50 |
1,7 |
0,74 |
-2,29 |
- 1,00 |
10 |
0,48 |
2,0 |
1,03 |
-2,57 |
- 1,17 |
11 |
0,69 |
2,1 |
1,06 |
-2,56 |
-0,87 |
12 |
0,50 |
2,4 |
1,49 |
-2,86 |
-0,47 |
13 |
0,31 |
2,90 |
1,79 |
-2,85 |
-0,33 |
14 |
0,37 |
3,50 |
2,03 |
-3,03 |
-0,00 |
15 |
0,43 |
3,99 |
2,22 |
-3,25 |
0,34 |
16 |
0,33 |
4,06 |
2,50 |
-3,08 |
0,49 |
17 |
0,31 |
4,54 |
2,88 |
-3,29 |
0,81 |
18 |
0,09 |
4,99 |
3,21 |
-3,67 |
1,37 |
19 |
0,08 |
5,36 |
3,63 |
-3,70 |
1,72 |
20 |
0,03 |
5,99 |
3,90 |
-3,85 |
2,03 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 21 |
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
Вариант 25 |
1 |
-1,89 |
-1,84 |
-1,92 |
-1,90 |
-1,80 |
2 |
-2,07 |
-1,98 |
-1,60 |
-1,80 |
-1,66 |
3 |
-2,30 |
-1,72 |
-1,57 |
-1,82 |
-1,36 |
4 |
-2,26 |
- 1,58 |
-1,41 |
-1,86 |
-1,41 |
5 |
-2,34 |
- 1,69 |
-1,36 |
-1,83 |
-1,13 |
6 |
-2,66 |
- 1,59 |
-0,97 |
-2,00 |
-0,82 |
7 |
-2,88 |
-1,58 |
-0,59 |
-2,01 |
-0,74 |
8 |
-2,85 |
-1,64 |
-0,71 |
-2,05 |
-076 |
9 |
-3,16 |
- 1,55 |
-0,15 |
-2,46 |
-0,64 |
10 |
-3,49 |
- 1,35 |
0,01 |
-2,68 |
-0,46 |
11 |
-3,88 |
- 1,33 |
0,22 |
-2,85 |
-0,30 |
12 |
-4,22 |
- 1,47 |
0,63 |
-2,98 |
-0,27 |
13 |
-4,45 |
- 1,50 |
1,07 |
3,30 |
-0,22 |
14 |
-4,99 |
- 2,65 |
1,42 |
-3,40 |
-0,11 |
15 |
-5,36 |
- 1,65 |
1,68 |
-3,90 |
-0,02 |
16 |
-5,71 |
- 1,87 |
2,49 |
-4,37 |
0,11 |
17 |
-6,51 |
- 1,61 |
2,57 |
-4,65 |
0,11 |
18 |
-6,76 |
- 1,86 |
3,09 |
-5,00 |
-0,02 |
19 |
-7,35 |
- 1,84 |
3,40 |
-5,42 |
0,03 |
20 |
-8,02 |
- 1,91 |
4,00 |
-6,13 |
0,01 |
|
Вариант 26 |
Вариант 27 |
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
1 |
-1,65 |
-1,88 |
- ,01 |
-4,13 |
-3,97 |
2 |
-1,64 |
-1,69 |
- ,06 |
-4,11 |
-4,07 |
3 |
-1,41 |
-1,52 |
- ,88 |
-3,87 |
-4,04 |
4 |
-0,91 |
-1,55 |
-3,98 |
-3,74 |
-4,30 |
5 |
-0,63 |
-1,16 |
-4,36 |
-3,85 |
-4,27 |
6 |
-0,34 |
-1,27 |
-4,18 |
-3,71 |
-4,54 |
7 |
-0,12 |
-1,23 |
-4,16 |
-3,53 |
-4,79 |
8 |
0,25 |
-1,36 |
-4,51 |
-3,56 |
-5,07 |
9 |
0,64 |
-1,26 |
-4,53 |
-3,19 |
-5,30 |
10 |
0,96 |
-1,47 |
-4,38 |
-3.04 |
-5,51 |
11 |
1,50 |
-1,72 |
-4,76 |
-2,83 |
-5,83 |
12 |
1,77 |
-1,76 |
-4,66 |
-2,54 |
-6,06 |
13 |
2,24 |
-2,00 |
-4,82 |
-2,41 |
-6,40 |
14 |
2,93 |
-2,03 |
-4,77 |
-1,97 |
-6,83 |
15 |
3,17 |
-2,35 |
-5,12 |
-1,78 |
-7,54 |
16 |
3,77 |
-2,46 |
-5,23 |
-1,53 |
-7,68 |
17 |
4,42 |
-2,88 |
-5,40 |
-1,04 |
-8,36 |
18 |
4,79 |
-3,27 |
-5,84 |
-0,86 |
-8,91 |
19 |
5,50 |
-3,68 |
-5,86 |
-0,48 |
-9,39 |
20 |
6,01 |
-3,98 |
-6,01 |
0,09 |
-9,98 |
|
|
|
|
|
|