7.3 Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Рассмотрим уравнение колебания однородной и ограниченной струны.

Задача состоит в отыскании функции u(x,t) при t>0, удовлетворяющей уравнению гиперболического типа

,

(7.12)

где: 0<x< a; 0<t<T,

начальным условиям

0  x  a

(7.13)

и краевым условиям

(7.14)

Заменим С на сt и получим уравнение

и в дальнейшем будем считать С=1.

Для построения разностной схемы решение задачи (7.12)-(7.14) построим в области сетку ; i=0,1,…,n; ; ; j=0,1,…,m; m=T.

Аппроксимируем (7.12) разностными производными второго порядка точности относительно шага

.

(7.15)

Полагая =/h перепишем (7.15), выразив U_i,j+1. Таким образом получим трехслойную разностную схему

,

(7.16)

где: i=1,…,n; j=1,…,m. Задаем нулевые граничные условия ₁(t)=0, ₂(t)=0. Тогда в (7.16) , для всех j.

Схема (7.16) называется трехслойной, т.к. она связывает значения искомой функции на трех временных слоях j-1, j, j+1.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений решения u(x,t) в узлах при i=1,…,n; j=1,…,m. Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое (j=2,3,..,n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев (j=0,1,..,n-1) по формуле (7.16). При j=0 решение известно из начального условия . Для вычисления решения на первом слое (j=1) положим

,

(7.17)

тогда , i=1,2,…,n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно использовать формулу (7.16).

Описанная схема аппроксимирует задачу (7.12)-(7.14) с точностью O(+h). Невысокий порядок аппроксимации по  объясняется грубостью аппроксимации по формуле (7.17).

Схема будет устойчивой, если выполнено условие .

Часть 2. Дискретная математика

1. Основные Элементы теории множеств

1.1 Элементы и множества

Понятие множества относится к числу фундаментальных понятий математики.

Определение. Под множеством понимают совокупность определенных различаемых объектов, таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит он данному множеству или нет.

Пример. Можно рассматривать множества объектов любой природы: множество городов Беларуси, множество студенческих групп на факультете, множество букв русского языка, множество натуральных чисел.

Сами объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Все элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Множества обычно обозначают прописными буквами (А, В, С и т.д.), а их элементы – строчными (например: x, y, z).

Если элемент x принадлежит множеству А, то пишут x Î A. Запись x Ï A означает, что элемент x не принадлежит множеству А.

Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются другие множества, обычно называется семейством, или классом множеств.

Обычно семейства множеств обозначают рукописными буквами латинского алфавита для отличия их от обычных множеств.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается символом Ø .

Если все рассматриваемые множества (в конкретной задаче) являются подмножествами более широкого множества U, то множество U называется универсальным множеством, или универсумом.

Мощность множества M обозначается как |M| и для конечного множества равняется числу элементов в нем.

Заметим, что |Ø | = 0, но |{Ø }| = 1.

Для числовых множеств здесь и далее будем использовать следующие обозначения: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, R – множество действительных чисел, P – множество простых чисел, Q – множество рациональных чисел.