3 Решение нелинейных уравнений

Рассмотрим систему нелинейных уравнений с m неизвестными вида

.

(3.1)

Задача решения такой системы является более сложной, чем нахождение корней одного нелинейного уравнения, и чем задача решения линейных алгебраических уравнений. В отличие от систем линейных уравнений здесь использование прямых методов исключено и решение находится с использованием итерационных методов, т.е. находится приближенное решение

x^* = (x₁^*, ... , x_m^*),

удовлетворяющее при заданном  > 0 условию .

Задача (3.1) совсем может не иметь решения или же число решений может быть произвольным. Введем векторную запись решения задачи:

x=(x1,…,xm)T, f=(f1,…,fm)T, f(x)=0.

(3.2)

Будем считать, что функции f_i непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки х. Введем матрицу Якоби

.

Как и в случае решения одного уравнения начинаем с этапа локализации решения (отделения корней).

Пример. Дана система 2-х уравнений с 2-мя неизвестными

.

Найдем на плоскости место расположения решения.

Строим графики уравнений этой системы: а) - график 1-го уравнения, б) – график 2-го уравнения, с) – совмещенные графики.

х₂ а) х₂ б)

4

е

4 х₁ е х₁

х ₂ с)

А В

4

С

4 х₁

Рисунок 3 – Графики уравнений системы

Определяем границы координат пересечения графиков. Данная система имеет три решения. Координаты точек (B,C,A):

B: x₁=4, x₂=4

C: 3.5 < x₁ < 4; 1.5 < x₂ < 2.5.

Точки А и С симметричны относительно прямой х₁ =х₂. Координаты точки С определим приближенно: x₁  3.8, x₂  2.

Обусловленность и корректность решения системы (3.1). Предположим что система (3.1) имеет решение х и в некоторой окрестности этого решения матрица Якоби не вырождена. Это означает, что в указанной окрестности нет других решений системы.

В одномерном случае нахождение корня нелинейного уравнения приводит к определению интервала неопределенности (х^*-, х^*+).

у

х

а в

х

х*-б х*+б

Рисунок 4 – Графическое изображение интервала неопределенности

В этом случае мы не можем определить, какая же точка в интервале неопределённости является решением.

Если случай многомерный, то получаем некоторую область неопределённости D, и можем получить оценку радиуса  этой области:

Эта норма играет роль числа обусловленности. Чем оно больше, тем хуже эта система обусловлена.

3.1 Метод простых итераций

Систему (3.1) преобразуем к следующему эквивалентному виду:

.

(3.3)

Или в векторной форме

(3.4)

Пусть задано начальное приближение . Подставляем его в правую часть системы (3.4) и получаем x⁽¹⁾=(x⁽⁰⁾), продолжая подстановку, находим х⁽²⁾ и т.д. Получим последовательность точек , которая приближается к исходному решению х.