4 Элементы математической логики

Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1) Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается ¬Р или .

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

P	¬Р
И	Л
Л	И

2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается P&Q или Р Q.

P	Q	P&Q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается P Q.

P	Q	P Q
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

Обозначается P Q (или Р Q). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

P	Q	P Q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается Р~Q или Р Q.

P	Q	P~Q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы φ и ψ.

_

φ = p (p r)

_ _ _

ψ = p (p r )

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

p	r	_ p	p r	_ p (p r)
И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л

p	r	_ p	_ r	_ _ p r	_ _ _ p (p r)
И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	И	И	И
Л	И	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И

Данные формулы не являются эквивалентными.

Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы φ и ψ.

φ = (p q) r

ψ = (p q) (q p) r

Составим таблицы истинности для заданных формул.

p		r		r		p q		(p q) r
И		И		И		И		И
И		И		Л		И		И
И		Л		И		Л		И
И		Л		Л		Л		Л
Л		И		И		Л		И
Л		И		Л		Л		Л
Л		Л		И		И		И
Л		Л		Л		И		И
p	r		r		p q		q p		(p q) (q p)		(p q) (q p) r
И	И		И		И		И		И		И
И	И		Л		И		И		И		И
И	Л		И		Л		И		И		И
И	Л		Л		Л		И		И		И
Л	И		И		И		Л		И		И
Л	И		Л		И		Л		И		И
Л	Л		И		И		И		И		И
Л	Л		Л		И		И		И		И

Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.

Основные равносильности

Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:

A & B ≡ B & A; A & A ≡ A; A & (B & C) ≡ (A & B) & C;

A B ≡ B A; A A ≡ A; A (B C) ≡ (A B) C;

A (B & C) ≡ (A B) & (A C); A & (B C) ≡ (A & B) (A & C);

A & (A B) ≡ A; A (A & B) ≡ A; ¬¬A ≡ A; ¬(A & B) ≡ ¬A ¬B;

A ≡ (A & B) (A & ¬B); A ≡ (A B) & (A ¬B);

Булевы функции

Определение. Булевой функцией f(X₁, X₂, …, X_n ) называется называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.

Вообще говоря между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия. Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1.

Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.

X1	X2	¬X1	X1& X2	X1 X2	X1 X2	X1 X2
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Исчисление предикатов

Определение. Предикатом P(x₁, x₂, …, x_n) азывается функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества М, а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь), т.е.

P(x₁, x₂, …, x_n) : Mⁿ →{И ,Л}

Предикат от n аргументов называется n – местным предикатом. Высказывания считаются нуль – местными предикатами.

Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате которых получаются новые предикаты.

Кроме обычных логических операций к предикатам применяются также специальные операции, называемые кванторами.

Кванторы бывают двух видов:

1) Квантор общности. Обозначается ¬( х)P(х). Квантором общности называется высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное – в противном случае.

2) Квантор существования. Обозначается (х)Р(х). Квантором существования называется высказывание, истинное, когда существует элемент из множества М, для которого Р(х) истинно, и ложное в противном случае.

Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего числа переменных.

Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие свойства:

1) Перенос квантора через отрицание.

¬( х)P(х) ≡ (х ¬A(x); (x)A(x) ≡ ( x) ¬A(x);

2) Вынесение квантора за скобки.

(х)(А(х) & B) ≡ (x)A(x) & B; ( x)(A(x) & B) ≡ ( x)A(x) & B;

(х)(А(х) B) ≡ (x)A(x) B; ( x)(A(x) B) ≡ ( x)A(x) B;

3) Перестановка одноименных кванторов.

( y)( x)A(x,y) ≡ ( x)( y)A(x,y); (y)(x)A(x,y) ≡ (x)(y)A(x,y);

4) Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы А другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную А.

Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах, называемых аксиомами.

Какими бы ни были формулы А и В для них справедливы следующие аксиомы:

1) A (B A);

2) (A (B C)) ((A B) (A C));

3) (¬B ¬A) ((¬B A) B);

4) ( x_i)A(x_i) A(x_j), где формула А(х_i) не содержит переменной x_i.

5) A(x_i) (x_j)A(x_j), где формула А(х_i) не содержит переменной x_i.