Контрольная работа № 2 Общие сведения
Цель работы: изучение численного дифференцирования и интегрирования.
Порядок выполнения работы
Изучить темы 7 лекционного материала.
Аналитически (вручную) вычислить значения первой и второй производной функции
в точке
.
Аналитически (вручную) вычислить значение определенного интеграла от функции
на интервале [a,b].
Написать программу для нахождения значения первой и второй производной функции в точке c помощью сплайнов;
Написать программу для вычисления приближенного значение определенного интеграла от функции на интервале [a,b] с заданной точностью методами Симпсона или квадратурной формулой Гаусса.
Сверить рассчитанные вручную значения с результатами вычислений программы.
Метод Симпсона
Входные параметры: a,b – интервал интегрирования; h – шаг интегрирования; fun – вид функции.
Выходные параметры: d – погрешность интегрирования; res – значение интеграла функции.
Схема алгоритма показана на рисунке 3.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с точностью 0,01
Текст программы:
procedure Simpson(fun:string;a,b,h:real;var res,d:real);
var f0,f1,s,s1,s2,h,x1,x2:real;
n:integer;
begin
form3.Memo1.Lines.Add('');
f0:=Execute(fun,a);
f1:=Execute(fun,b);
s:=f0-f1;
s1:=(b-a)*(f0+f1+4*Execute(fun,(a+b)/2))/6;
n:=2;
repeat
h:=(b-a)/n; x1:=a+h/2; x2:=a+h; s2:=s;
for i:=1 to n do
begin
s2:=s2+4*Execute(fun,x1)+2*Execute(fun,x2);
x1:=x1+h; x2:=x2+h;
end;
s2:=s2*h/6; d:=abs(s1-s2)/15; s1:=s2; n:=n*2;
until d<h;
res:=s1;
end;
Вычисления по программе привели к следующим результатам:
Результат: - 0.4864297
Погрешность вычисления:0,005
Рисунок 3 - Схема алгоритма метода Симпсона
Варианты заданий для решения задач численного интегрирования и дифференцирования приведены в таблице 2.
Квадратурная формула Гаусса
Входные параметры: a,b – интервал интегрирования; fun – вид функции.
Выходные параметры: d – погрешность интегрирования; res – значение интеграла функции.
Схема алгоритма показана на рисунке 4.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с точностью 0,01
Текст программы:
Procedure Kvadratur(fun:string;a,b:real;var res,d:real);
var c,h,h1,c1,x1,x2,x3,f1,f3,s1,s2:real;
n:integer;
begin
c:=sqrt(3/5);
h1:=(b-a)/2;
c1:=c*h1;
x2:=(b+a)/2;
f1:=Execute(fun,x2-c1);
f3:=Execute(fun,x2+c1);
s1:=h1*(5*f1+8*Execute(fun,x2)+5*f3)/9;
n:=2;
repeat
h:=(b-a)/n; h1:=h/2; c1:=c*h1;
x2:=a+h1; x1:=x2-c1; x3:=x2+c1; s2:=0;
for i:=1 to n do
begin
s2:=s2+5*Execute(fun,x1)+8*Execute(fun,x2)+5*Execute(fun,x3);
x1:=x1+h; x2:=x2+h; x3:=x3+h;
end;
s2:=s2*h1/9; d:=abs(s1-s2)/63; s1:=s2; n:=2*n;
until d<h;
res:=s2;
end;
Вычисления по программе привели к следующим результатам:
Результат: - 0.4863854
Погрешность вычисления:0,007
Рисунок 4 - Схема алгоритма квадратурной формулы Гаусса
Варианты заданий для решения задач численного интегрирования и дифференцирования приведены в таблице 2.
Дифференцирование с помощью сплайнов
Входные параметры: a,b – интервал дифференцирования; x – точка дифференцирования; n – число точек дифференцирования; fun – вид функции.
Выходные параметры: y_1,y_2 – значения первой и второй производной в точке x соответственно.
Схема алгоритма показана на рисунке 5.
Пример.
Продифференцировать функцию
, количество точек разбиения 5, значение
точки х=1.
Текст программы:
procedure Spl_Integr(fun:string;a,b,x:real;n:integer;var y_1,y_2:real);
var h,h1,h2,aa:real;
y:array of real;
begin
h:=(b-a)/n;
SetLength(y,n-1);
aa:=a;
for i:=0 to length(y)-1 do
begin
y[i]:=execute(fun,aa); form3.Memo1.Lines.Add(floattostr(y[i]));
aa:=aa+h;
end;
i:=trunc((x-a)/h+h/2);
h1:=2*h; h2:=h*h; if i=0 then
begin
y_1:=(-3*y[0]+4*y[1]-y[2])/h1; y_2:=(2*y[0]-5*y[1]+4*y[2]-y[3])/h2;
end;
if (i>0)and(i<n) then begin
y_1:=(-y[i-1]+y[i+1])/h1; y_2:=(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1])/h2; end;
if i=n then
begin
y_1:=(y[n-2]-4*y[n-1]+3*y[n])/h1; y_2:=(-y[n-3]+4*y[n-2]-5*y[n-1]+2*y[n])/h2;
end;
end;
Вычисления по программе привели к следующим результатам:
Первая производная:3,808
Вторая производная:10,00
Рисунок 5 - Схема алгоритма дифференцирования с помощью сплайнов
Варианты заданий приведены в таблице 2.