5.6 Элементы топологии

Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.

Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке р.

Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства:

1) Точка р принадлежит любой своей окрестности.

2) Если U – окрестность точки р , а V U, то V – тоже окрестность точки р .

3) Если U и V – окрестности точки р , то их пересечение U  V тоже будет окрестностью точки р .

4) Если U – окрестность точки р , то можно найти такую окрестность V точки р , что W = V  U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек.

Определение. Топологическим пространством называется множество Е, каждая точка которого р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Пусть р – точка множества F. Назовем подмножество U множества F окрестностью точки р в F, если U = FV, где V – окрестность точки р в E.

При этом множество F называется подпространством пространства Е.

5.7 Метрическое пространство

Определение. Метрикой на множестве Е называется функция f(x,y), определенная на декартовом произведении Е?Е, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям:

1) f(x, y) = f(y, x)

2) f(x, y) + f(y, x) ≥ f(x, y)

3) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.

Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f.

Определение. Число ρ(x,y), где хЕ и у Е – заданные точки, называется расстоянием между этими точками.

Определение. Пусть r – положительное число. Множество {y: ρ(x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: ρ(x, y) ≤ r} – замкнутым шаром радиуса r с центром в точке х.

Например, для трехмерного евклидова пространства R³ метрика определяется как ρ(x,y )= , где х(х₁,х₂,x₃)  R и y(y₁,y₂,y₃)  R.

Открытые и замкнутые множества

Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а U – его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки ρU.

Определение. Пусть Е –топологическое пространство, а F – его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E\F – открыто.

Отметим следующие свойства:

1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.

2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.

4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Определение. Если А –любое множество в топологическом пространстве Е, то объединение всех открытых множеств, содержащихся в А, открыто. Это объединение называется внутренностью множества А. Обозначается IntA. Это объединение будет наибольши открытым множеством, содержащимся в А.

Определение. Множество А называется замыканием множества А. Множество FrA = Ā CA называется границей множества А.

Непрерывные отображения

Пусть Е и F – топологические пространства, и пусть f – отображение пространства Е в F.

f: E → F.

Непрерывность отображения состоит в том, что точки, близкие друг к другу в множестве Е, отодражаются в точки, близкие друг к другу в множестве F.

Определение. Отображение f: E → F называется непрерывным в точке р , если для любой окрестности V точки f(p) в множестве F существует такая окрестность U точки в множестве Е, что f(U)  V. Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства Е.

Особое значение имеют те непрерывности отображения, для которых существует непрерывное обратное отображение.

Определение. Если f – взаимно одноначное отображение пространства Е в F, то существует обратное отображение g пространства F в E. Если и f и g непрерывны, то отбражение f называется гомеоморфизмом, а пространства Е и F – гомеоморфные.

Гомеоморфизм между множествами устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностями, закрытыми и открытыми подмножествами этих множеств.

Топологические произведения

Пусть Eи F–топологические пространства. Множество E×F определяется как множество пар (p,q), где pE, a qF. Оно превращается в топологическое пространство следующим образом: если (p,q)  E×F, то окрестность точки (p,q) – это любое множество, содержащее множество вида U×V, где U – окрестность точки p в E, a V– окрестность q в F.

Определение. Множество E×F, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.

Например, в трехмерном евклидове пространстве тор является топологическим произведением окружности на себя.

Связность

Определение. Пространство E называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, открытых в E. Множество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно как подпространство. Если Е и F – связные пространства, то произведение Е × F также связно.

Компактность

Понятие компактности обобщает свойство быть замкнутым и ограниченным множеством в евклидовом пространстве.

Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если оно обладает следующим свойством: каковы бы ни были две различные точки p и q, существует такая окрестность U точки p и такая окрестность V точки q, что UV=Ø.

Любое евклидово пространство является хаусдорфовым.

Любое подпространство евклидова пространства хаусдорфово. На самом деле любое подпространство любого хаусдорфова пространства хаусдорфово.

Прежде чем определять компактность, приведем несколько предварительных определений.

Покрытие топологического пространства E – набор множеств из E, объединение которых дает все пространство E. Оно называется открытым покрытием, если каждое множество в наборе открыто.

Пусть дано покрытие топологического пространства. Подпокрытием называется покрытие, все множества которого принадлежат данному покрытию.

Компактным пространством называется хаусдорфово пространство, обладающее тем свойством, что каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие, т.е. покрытие, состоящее из конечного числа множеств. Множество в топологическом пространстве называется компактным, если оно является компактным подпространством.

Компактное подмножество евклидова пространства должно быть замкнутым и ограниченным. Если перемножаемые компактные пространства A и B лежат в евклидовых пространствах размерностей m и n , то их произведение есть подпространство в (n+m) -мерном пространстве. Так как пространства A и B компактны, они замкнуты и ограничены. Поэтому их произведение является замкнутым и ограниченным подмножеством евклидова пространства. Следовательно, A×B компактно.

ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Контрольные работы

Контрольная работа № 1

Общие сведения

Метод Гаусса

Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а₁₁, а(2) = a_12…а(n) = а_n1, а(n + 1) = а₁₂, .... а(n х n) = а_nn); b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b₁, b(2)=b_2,…b(n)=b_n).

Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системы b(l) = x₁, b(2) = x₂, … b(n) = х_n; error—признак правильности решения (код ошибки): если ks = 0, то в массиве b содержится решение системы, если error= 1, исходная система не имеет единственного решения (определитель системы равен нулю).

Перед обращением к подпрограмме SIMQ необходимо:

1) описать массивы а и b. Если система содержит n уравнений, то массив а должен содержать n² элементов, а массив b – n элементов;

2) присвоить значение параметру n, который равен числу уравнений системы;

3) присвоить элементам массивов а и b значения коэффициентов системы следующим образом: a(l) = a₁₁, а(2) = а₂₁, а(3) = а₃₁,…а(n) = а_n1 а(n+1) = а₁₂, а(n+2) = а₂₂… а(n x n) = а_nn. b(1) = b₁, b(2)=b_2,…b(n)=b_n

4) проверить соответствие фактических параметров по типу и порядку следования формальным параметрам подпрограммы SIMQ. Параметры а и b – величины вещественного типа, n и error – целого типа.

Программу SIMQ для решения заданной системы трех линейных уравнений. Схема алгоритма приведена на рисунке 1.

Пример.

Рисунок 1 – Схема алгоритма метода Гаусса

Текст программы:

PROCEDURE SIMQ(Nn:Integer;Var Aa:TMatr;Var Bb:TVector;Var Ks:Integer);

Label M1;

Const Eps=1e-21;

Var Max,U,V : Real; I,J,K1,L : Integer;

Begin

For I:=1 To Nn Do Aa[i,Nn+1]:=Bb[i];

For I:=1 To Nn Do

Begin

Max:=Abs(Aa[i,i]); K1:=I; {запоминает номер строки с максимальным элементом}

For L:=I+1 To Nn Do If (Abs(Aa[l,i])>Max) Then

Begin

Max:=Abs(Aa[l,i]); K1:=L;

End;

I f(Max<Eps) Then Begin Ks:=1; Goto M1;

End Else Ks:=0;

If K1<>I Then

For J:=I To Nn+1 Do {обмен местами элементов строк с максимальным элементом}

Begin U:=Aa[i,j]; Aa[i,j]:=Aa[k1,j]; Aa[k1,j]:=U;

End;

V:=Aa[i,i]; {элемент на главной диагонали, являющийся максимальным }

For J:=I To Nn+1 Do Aa[i,j]:=Aa[i,j]/V;

For L:=i+1 To Nn Do {все последующие строки после строки с максимальным элементом}{при I=1: L=2 (2,2),(2,3)..(2,Nn+1)

L=3 (3,2),(3,3),..(3,Nn+1)

L=Nn (Nn,2), (Nn,3),.. (Nn,Nn+1)}

Begin

V:=Aa[l,i]; For J:=I+1 To Nn+1 Do Aa[l,j]:=Aa[l,j]-Aa[i,j]*V;

End;

End;

Bb[nn]:=Aa[Nn,Nn+1]; {находим n-ый элемент решения}

For I:=Nn-1 Downto 1 Do {находим в обратном порядке все элементы решения}

Begin Bb[i]:=Aa[i,nn+1];

For J:=I+1 To Nn Do Bb[i]:=Bb[i]-Aa[i,j]*Bb[j];

End;

M1:End;

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

X(1)= .100000E+01 Х(2)= .200000Е+01 Х(3)= .З00000Е + 01

признак выхода 0

Варианты заданий для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса приведены в таблице 1.

Метод квадратных корней Холецкого

Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а₁₁, а(2) = a_12…а(n) = а_n1, а(n + 1) = а₁₂, .... а(n х n) = а_nn); b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b₁, b(2)=b_2,…b(n)=b_n).

Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системы b(l) = x₁, b(2) = x₂, … b(n) = х_n; p—количество операций.

Схема алгоритма приведена на рисунке 2.

Пример.

Текст программы:

Procedure Holets(n:integer;a:TMatr;b:TVector;var x:TVector;var p:integer);

Var i,j,k:integer; a11:real;

Begin

Out_Slau_T(n,a,b);

For i:=1 To n Do Begin

If i<>1 Then Begin

If a[i,i]=0 Then Begin

p:=0; error:=2; MessageDlg('!!!!',mtError,[mbOk],0);

Exit; End;

a[1,i]:=a[1,i]/a[1,1];

End;

For j:=1 To i Do Begin

For k:=1 To j-1 Do Begin

a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];

End;

For i:=1 To n Do Begin

For j:=1 To i-1 Do b[i]:=b[i]-a[i,j]*b[j];

If a[i,i]=0 Then Begin

p:=0; error:=2; MessageDlg('!!!!',mtError,[mbOk],0);

Exit; End;

b[i]:=b[i]/a[i,i];

End;

For i:=n DownTo 1 Do Begin

For j:=n DownTo i+1 Do b[i]:=b[i]-a[i,j]*b[j];

End;

x:=b;

p:=2*n*n;

End;

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

X(1)= .100000E+01 Х(2)= .200000Е+01 Х(3)= .З00000Е + 01

Рисунок 2 - Схема алгоритма метода Холецкого

Цель работы: решение систем линейных алгебраических уравнений.

Порядок выполнения работы

1. Изучить тему 2 лекционного материала.

2. Составить программу для решения систем трех линейных уравнений методами Гаусса и Холецкого.

3. Предусмотреть обработку ошибок (деление на ноль и т.д.), а также вывод сообщений о том, что нет решения и о бесконечном множестве решений.

4. Решить систему с помощью программы и аналитически (вручную) свой вариант (последняя цифра зачётки).

5. Предоставить отчет по контрольной работе, содержащий код программы, результаты выполнения и аналитическое решение системы в формате Word, а также саму программу.