3.1.1 Условия сходимости метода

Пусть  '(x) - матрица Якоби (якобиан), соответствующая системе (3.4) и в некоторой -окрестности решения х функции (i=1,2,…,m) дифференцируемы и выполнено неравенство вида:

,

где (0  q < 1), q - постоянная.

Тогда независимо от выбора х⁽⁰⁾ из -окрестности корня итерационная последовательность {х^k} не выходит за пределы данной окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии и справедлива оценка погрешности

.

3.1.2 Оценка погрешности

В данной окрестности решения системы, производные функции _i(x) (i=1,…,m) должны быть очень малы по абсолютной величине, т.е. сами функции должны быть почти постоянными. Тогда исходную систему (3.1) следует преобразовать к виду (3.3) с учетом условий сходимости.

Пример. Рассмотрим предыдущий пример и приведем систему к удобному для итераций виду

Проверяем условие сходимости вблизи точки С. Вычислим матрицу Якоби

.

Так как x₁3.8, x₂2, то при этих значениях вычисляем норму матрицы

|| |||| || 0.815.

Запишем итерационную процедуру

Следовательно, метод простых итераций будет сходиться со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой q0.815. Вычисления поместим в таблице 1.

Таблица 1 Решение системы нелинейных уравнений

К	0	1	…	8	9
	3.80000	3,75155	….	3,77440	x1=3,77418
	2.00000	2,03895	…	2,07732	x2=2,07712

При К=9 критерий окончания счета выполняется при =10^-3 и можно положить x₁ =3.774 0.001

x₂ =2.077 0.001.

3.2 Метод Ньютона

Суть метода состоит в том, что система нелинейных уравнений сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система (3.1) и задано начальное приближение x⁽⁰⁾, приближение к решению х строим в виде последовательности .

В исходной системе (3.1) каждую функцию где i= , раскладывают в ряд Тейлора в точке х⁽ⁿ⁾ и заменяют линейной частью её разложения

.

Для каждого уравнения получаем

.

(3.5)

В матричной форме

(3.6)

где f ' - матрица Якоби.

Предположим, что матрица не вырождена, то есть существует обратная матрица .

Тогда система (3.6) имеет единственное решение, которое и принимается за очередное приближение x⁽ⁿ⁺¹⁾. Отсюда выражаем решение x⁽ⁿ⁺¹⁾ по итерационной формуле:

.

(3.7)

Формула (3.7) и есть итерационная формула метода Ньютона для приближенного решения системы нелинейных уравнений.

Замечание. В таком виде уравнение (3.7) используется редко в виду того, что на каждой итерации нужно находить обратную матрицу. Поэтому поступают следующим образом: вместо системы (3.6) решают систему линейных алгебраических уравнений вида

f(x(n))*x(n+1) =-f(x(n)).

(3.8)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно поправки x⁽ⁿ⁺¹⁾= x⁽ⁿ⁺¹⁾- x⁽ⁿ⁾. Затем полагают

x(n+1) =x(n) +x(n+1).

(3.9)