Содержание дисциплины

1. Название тем лекционных занятий, их содержание, объем в часах Наименование тем, их содержание

Тема 1. Введение в основы численных методов. Математические модели и численные методы. Погрешности вычислений. 4ч

Математические модели и моделирование. Этапы численного решения задач на ЭВМ. Виды погрешностей решения задач. Погрешности арифметических операций. Графы арифметических операций. Распространение погрешностей в вычислениях

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений 8ч

Постановка задачи. Классификация методов решения. Метод Гаусса. Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Метод -разложения. Обращение матрицы. Метод Гаусса–Зейделя. Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя. Сходимость метода Гаусса–Зейделя.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 3. Аппроксимация функций 8ч

Понятие аппроксимации функций. Постановка задачи интерполирования функций. Интерполяционный полином Лагранжа. Конечные и разделенные разности функции. Интерполяционный полином Ньютона. Погрешность интерполирования. Наилучший выбор узлов интерполирования.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 4. Численное интегрирование и дифференцирование 12ч

Постановка задачи численного интегрирования. Метод прямоугольников. Погрешность метода прямоугольников. Метод трапеций. Погрешность метода трапеций. Метод Симпсона. Погрешность метода Симпсона. Интерполяционные квадратурные формулы. Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности. Постановка задачи дифференцирования. Дифференцирование с помощью интерполяционных полиномов Лагранжа и Ньютона

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 5. Решение нелинейных уравнений 4ч

Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам. Метод хорд. Метод простой итерации. Метод Ньютона. Метод секущих.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 6. Методы нахождения минимума функции одной переменной 4ч

Классификация методов минимизации функции одной переменной. Метод деления отрезка пополам. Метод золотого сечения. Метод последовательного перебора. Метод квадратичной параболы. Метод кубической параболы.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений 8ч

Постановка задачи. Метод рядов Тейлора. Метод Эйлера. Метод Рунге–Кутта 2-го и 4-го. Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка. Метод Эйлера.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 8. Постановка задач оптимизации и их классификация. Технология решения задач в среде программирования 4ч

Минимум функции одной и n-переменных. Условная и безусловная оптимизация. Рельеф функции, идеи методов спуска к минимуму. Классификация методов оптимизации: методы нулевого, первого и второго порядка. Интерфейс, ввод-вывод, встроенные инструменты, язык программирования.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 9. Методы нулевого и первого порядков 4ч

Алгоритмическая основа методов Гаусса–Зейделя (спуск по координатам), Пауэлла, Хука–Дживса, Розенброка, Нелдера–Мида, последовательного перебора, ДСК. Геометрическая иллюстрация методов спуска, их сравнительная характеристика. Определение градиента и его геометрическая интерпретация. Алгоритмическая основа методов первого порядка. Метод спуска по градиенту, метод сопряженных градиентов, их геометрическая иллюстрация, достоинства и недостатки.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 10. Методы с переменной метрикой. Методы второго порядка 4ч

Особенности, основные алгоритмы и программная реализация. Особенности методов второго порядка. Метод Ньютона.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 11. Методы нелинейной условной оптимизации функции N-переменных 4ч

Метод штрафных функций.

Р.Л.: [1]; [2]; [3]; [4].

Тема 12. Элементы дискретной математики. Множества 4ч

Элементы множества. Задание. Правило Рассела. Операции над множествами. Алгебра подмножеств. Представление множеств в ЭВМ.

Р.Л.: [5]; [6]; [7]; [8]; [10]; [11]; [12] .

Тема 13. Элементы дискретной математики. Отношения и функции 4ч

Понятие отношения. Композиция, степень, ядро отношений. Свойства отношений. Представление отношений в ЭВМ. Определение функции. Инъекция, сюръекция, биекция. Индуцированная функция. Представление функций в ЭВМ. Отношения эквивалентности. Отношения порядка. Замыкание отношений.

Р.Л.: [5]; [6]; [7]; [8]; [10]; [11]; [12] .

Тема 14. Элементы дискретной математики. Алгебраические структуры 10ч

Операции. Морфизмы. Алгебры с одной операцией. Алгебры с двумя операциями. Векторные пространства. Решетки. Матроиды.

Р.Л.: [5]; [6]; [7]; [8]; [10]; [11]; [12] .

Тема 15. Элементы дискретной математики. Комбинаторика 10ч

Комбинаторные параметры: размещения, перестановки, сочетания. Подстановки. Биномиальные коэффициенты. Разбиения. Обращение.

Р.Л.: [5]; [6]; [7]; [8]; [10]; [11]; [12] .