6.3 Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Жесткие системы можно сравнить с плохо обусловленными системами алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений(ДУ)

,

(6.21)

где . Для решения (6.21) рассмотрим разностные методы вида

,

(6.22)

где n= m, m+1, m+2,….

Устойчивость и сходимость методов (6.22) определяется расположением корней характеристического уравнения, т.е. |q|1 - корни принадлежат единичной окружности. Среди методов (6.22) выделим те, которые позволяют получить асимптотически устойчивые решения.

Пример. В качестве частного случая (6.21) рассмотрим уравнение вида

,

(6.23)

где: ; <0; - решение ДУ. При  <0 решение есть монотонно убывающая функция при t. Для этого решения можно записать при любом шаге  >0

,

(6.24)

что означает устойчивость решения.

Рассмотрим для задачи (6.23) метод Эйлера

,

где: n=0, 1, 2, …, , q-промежуточный параметр, равный 1+.

Оценка (6.24) для метода Эйлера будет выполнена тогда и только тогда, когда |q|. Шаг  лежит в интервале 0 <  <. Метод Эйлера для задачи (6.23) устойчив при выполнении этого условия.

Определение 1. Разностный метод (6.22) называется абсолютно устойчивым, если он устойчив при любом  >0.

Определение 2. Разностный метод называется условно-устойчивым, если он устойчив при некоторых ограничениях на .

Например, метод Эйлера для (6.23) условно-устойчив, т.к. 0 <  <. Примером абсолютно устойчивого метода является неявный метод Эйлера

,

.

Замечание. Условная устойчивость является недостатком явных методов в связи с тем, что приходится выбирать мелкий шаг интегрирования.

Пример для задачи (6.23). Если =-200, тогда 0.01. Если мы рассмотрим интервал (0,1], то необходимо будет 100 шагов. Неявные методы со своей стороны приводят к решению на каждом шаге нелинейного уравнения, но это уже недостаток неявного метода.

6.3.1 Понятие жесткой системы оду

Замечание. Все вышерассмотренные методы легко реализуются на примере одного уравнения и легко переносятся на системы ДУ, но при решении систем возникают дополнительные трудности, связанные с разномасштабностью описанных процессов.

Рассмотрим пример системы двух уравнений:

,

где: t >0; a₁,a₂>0. Это система однородных независимых ДУ

.

Решение монотонно убывает с ростом t. Пусть коэффициент а₂ на порядок и выше больше а₁, т.е. а₂>>a₁. Тогда компонента u₂ затухает гораздо быстрее u₁, начиная с некоторого момента времени t и тогда решение задачи u(t) полностью будет определяться поведением компоненты u₁. Однако при численном решении данной задачи шаг интегрирования  будет определяться компонентой u₂, несущественной с точки зрения поведения решения системы. Рассмотрим метод Эйлера для решения данной системы

.

Он будет устойчив, если на  наложены ограничения

.

Учитывая, что >> , получаем окончательное ограничение на 

.

Такие трудности могут возникнуть при решении любых систем ОДУ. Рассмотрим в качестве примера систему

,

(6.25)

где А-квадратная матрица m*m. Если матрица А имеет большой разброс собственных чисел, то возникают проблемы с разномасштабностью описываемых системой процессов.

Допустим, что матрица А постоянна (т.е. не зависит от t). Тогда система (6.21) будет называться жесткой, если:

вещественные части собственных чисел для всех k, где к=1,…,m;

число велико (десятки и сотни), и число S называется числом жесткости системы.

Если же матрица А зависит от t, то и собственные числа зависят от t и зависят от t.

Решение жесткой системы (6.25) содержит как быстроубывающие, так и медленно убывающие составляющие.