6.6 Решение двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка сведением к задаче Коши

Запишем линейное уравнение второго порядка в виде

,

(6.40)

где: p, q, f-известные непрерывные функции на некотором отрезке [a,b].

Требуется найти решение уравнения (6.40), удовлетворяющее заданным краевым условиям

(6.41)

Причем константы  и  одновременно не равны нулю

Решение задачи (6.40), (6.41) будем искать в виде линейной комбинации

y=Cu+V,

где С - константа, u-общее решение соответствующего однородного уравнения

,

(6.42)

а V-некоторое частное решение неоднородного уравнения

.

(6.43)

Потребуем ,чтобы первое краевое условие было выполнено при любом C,

,

откуда следует, что , .

Тогда

,

(6.44)

где k- некоторая константа, не равная нулю. Значение функции V и ее производная в точке а

,

(6.45)

если коэффициент  и

,

(6.46)

если коэффициент .

Из этих рассуждений следует, что функция u - есть решение задачи Коши для однородного уравнения (6.42) с начальными условиями (6.44), а функция V - есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (6.43) с начальными условиями (6.45) или (6.46) в зависимости от условий. Константу C надо подобрать так, чтобы выполнялись условия (6.41) (вторая строчка) в точке x=b

.

Отсюда следует, что

,

где знаменатель не должен быть равен нулю, т. е.

.

(6.47)

Если условие (6.47) выполнено, то краевая задача (6.35), (6.36) имеет единственное решение. Если же (6.47) не выполняется, то краевая задача (6.35), (6.36) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

6.7 Методы численного решения двухточечной краевой задачи для линейного уравнения второго порядка

6.7.1 Метод конечных разностей

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

(6.48)

с двухточечными краевыми условиями

; ,

(6.49)

где: p, q, f-известные непрерывные функции на некотором отрезке [a,b].

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.

Основной отрезок [a,b] делим на n - равных частей с шагом h=(b-a)/n, то есть рассматриваем равномерную сетку , i=0,1,…,n. Производные в исходном уравнении (6.48) заменяем конечно-разностными отношениями. Для внутренних точек

(6.50)

где i=1,...,n-1.

Для граничных точек и , чтобы не выходить за границы отрезка, производные заменяем отношениями

.

(6.51)

Используя отношения (6.50), (6.51) исходное дифференциальное уравнение (6.48) аппроксимируем конечно-разностными уравнениями

,

(6.52)

где i=1,...,n-1. Учитывая краевые условия, получим еще два уравнения

.

(6.53)

Таким образом получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции в точках . Решив эту систему, получим таблицу значений искомой функции y.