При параметре

Рис. 9.10. Сопоставление значений функции сопротивления для квазиустановившегося притока при f₀=10^-9 со значениями добавочных фильтрационных сопротивлений для установившегося притока

Рис. 9.11. Зависимость отношения при параметрах:

9.4. Методика расчета фильтрационных сопротивлений при неустановившемся притоке жидкости к несовершенной скважине в ограниченном пласте по линейному закону

9.4.1. Несовершенная скважина дренирует однородно-анизотропный пласт прямоугольной формы при наличии активного напора подошвенной воды. Прямоугольная форма области дренирования возможна при линейно-батарейном расположении скважин. Для указанного условия в параграфе 8.5 рассмотрена задача о падении давления в нефтяном пласте, подстилаемом подошвенной водой и вскрытом несовершенной скважиной (см. рис. 8.5).

Присутствие подошвенной воды при решении уравнения пьезопроводности обусловливалось постоянством давления на подошвенной границе пласта. Остальные внешние границы пласта считались непроницаемыми. Решение получено методом функций Грина (см. §8.6). Анализ падения давления в скважине и сравнение его с падением давления для аналогичной скважины, вскрывшей бесконечный пласт с непроницаемой подошвенной границей, показывает, что присутствие подошвенных вод ведет к быстрому выполаживанию кривой падения давления. Влияние прямоугольных внешних границ сказывается лишь при малой степени вскрытия пласта и ведет к быстрому падению давления в период, предшествующий установившемуся режиму фильтрации жидкости.

Представим аналитическое решение (8.5.5) через функцию сопротивления по аналогии с формулой (9.3.2):

.       (9.4.1)

Обозначив подынтегральную функцию в уравнении (8.5.5) через и решив совместно (8.5.5) и (9.4.1), получаем расчетную формулу для функции сопротивления

,     (9.4.2)

где безразмерное время выражается формулой (8.5.6).

Функции (8.5.5) и (9.4.2) исследованы на сходимость и рассчитаны на ЭВМ в диапазоне параметров: , что соответствует плотности сетки скважин 200х200; h^*=100, 200, 1000; . Результаты расчета затабулированы (Прил.2, Прил.8 [28]) и частично представлены графическими зависимостями (рис. 8.6; 8.7; 9.12; 9.13; 9.14), которые соответственно характеризуют поведение функций понижения давления и фильтрационных сопротивлений R.

Анализ результатов расчетов показывает, что в данный период работы скважины имеет место установившееся движение, графические зависимости =f[lg (f₀)] почти линейны и горизонтальны (см. рис. 8.6). Время, при котором кривые отклоняются от прямой, представляет собой начало установившегося процесса в пласте. Для каждого из значений время это оказалось одинаковым: для h^*=1000 имеем (см. Прил. 8 [28]) или (см. рис.10.6); для h^*=200 имеем ; для h^*=100 имеем . Как видим, с уменьшением параметра h^* (для маломощных сравнительно однородно-изотропных пластов) установившийся период наступает раньше, т. е. время стабилизации уменьшается. Из графиков и таблиц также видно, что с уменьшением относительного вскрытия для каждого фиксированного значения параметра Фурье f₀ безразмерная депрессия на пласт увеличивается и особенно интенсивно возрастает для вскрытий <0,5.

Поведение функции сопротивления R наглядно показано на рис. 9.12. Как видно из графиков, а также из таблицы (см.Прил.8 [28]), функция R для каждого значения имеет максимум, обусловленный величиной параметра Фурье f₀. Причем, этот максимум, с увеличением относительного вскрытия пласта , сдвигается вправо по оси абсцисс в сторону больших значений параметра f₀ (меньших значений времени t).

Для некоторых значений параметров и f₀ функция сопротивления имеет отрицательные значения. Это объясняется тем, что мы формально связали решение (8.5.5) для понижения давления с интегральной показательной функцией с помощью уравнения (9.4.1). В результате, как оказалось, функция R принимает отрицательные значения, чтобы скомпенсировать действительные значения падения давления в пласте. Из таблиц также видно, как функция сопротивления R, так и функция падения давления в пределах изменения параметра 100 h^* 1000 не зависят от h^*, а зависят лишь от относительного вскрытия ; при f₀ 0,1 в пределах 0,1 1,0; при f₀ 0,01 в пределах 0,2 1,0. Таким образом, наличие табулированной функции сопротивления позволяет использовать уравнение (9.4.2) для интерпретации результатов гидродинамических исследований несовершенных скважин в условиях упругозамкнутого пласта прямоугольной формы при активном напоре подошвенной воды, а наличие табулированной функции позволяет контролировать забойное давление после пуска скважины в работу.

Как известно, при f₀ 0,01 уравнение (9.4.1) записывается в виде

.           (9.4.3)

Рис.9.12. Характеристика поведения функции фильтрационного сопротивления

для притока к несовершенной скважине, дренирующей однородно-анизотропный

пласт прямоугольной формы с подошвенной водой, при параметрах:

, ,

Рис.9.13. Характеристика поведения функции фильтрационного сопротивления

для притока к несовершенной скважине, дренирующей однородно-анизотропный

пласт прямоугольной формы с подошвенной водой, при параметрах:

, , .

Рис.9.14. Характеристика поведения функции фильтрационного сопротивления

для притока к несовершенной скважине, дренирующей однородно-анизотропный

пласт прямоугольной формы с подошвенной водой, при параметрах:

, , .

Линейная анаморфоза этого уравнения для кривой восстановления давления есть

,       (9.4.4)

где

;           (9.4.5)

Р_с(t_р) — забойное давление в момент остановки скважины t_р ;

Р_с(t) — восстановленное забойное давление.

Построив КВД в координатах { Р_с(t); }, по прямолинейному участку ее можно определить угловой коэффициент и отрезок , отсекаемый на оси ординат. Затем по формулам (9.4.5) нетрудно определить коэффициенты гидропроводности и пьезопроводности пласта.

Если период работы скважины до остановки t_p соизмерим с периодом наблюдения t после остановки, тогда по принципу суперпозиции получаем обобщенное уравнение Хорнера:

, (9.4.6)

где

. (9.4.7)

Построив кривую в координатах , можно определить путем экстраполяции прямой до значения (при среднепластовое давление Р_пл, а по угловому коэффициенту  — коэффициент гидропроводности. Функция сопротивления R определяется по таблицам и графикам (см. рис. 9.13; 9.14; 9.12).

9.4.2. Несовершенная скважина дренирует однородно-анизотропный пласт цилиндрической формы при упруговодонапорном режиме. Решение задачи о понижении давления в однородно-изотропном круговом пласте при работе центральной совершенной скважины в условиях упруговодонапорного режима впервые дано Маскетом [1] в виде:

, (9.4.8)

где функция представляется бесконечным рядом через функцию Бесселя. И.А. Чарный предложил простую экспоненциальную аппроксимацию указанной функции вида

=1,28ехр .       (9.4.9)

Впоследствии В.А. Щелкачевым [19] было указано, что формула (9.4.9) приемлема для практических расчетов при 0,15. Г.И. Баренблатт [43] получил наиболее точную формулу вида

.    (9.4.10)

При анализе основных модельных задач исследования газовых скважин Г.А. Зотов и С.М. Тверковкин [9] отметили достаточно высокую точность приближенной аппроксимации для практических расчетов. Однако следует отметить довольно значительное расхождение в результатах расчетов функции по формулам (9.4.9) и (9.4.10). Так формула (9.4.10) занижает результаты: при на 23,5%; при на 53,8% и при на 78,8%.

Представим аналитическое решение (8.6.9) для понижения давления на забое скважины через функцию сопротивления , основываясь на решении (9.4.8) для притока к несовершенной скважине:

. (9.4.11)

Решая совместно (8.6.9) и (9.4.11), получаем:

,    (9.4.12)

где функции Х, Y и F выражаются соответственно формулами (8.6.10), (8.6.11).Функцию рекомендуется вычислять по формуле И.Г. Баренблатта (9.4.10). Ясно, что реализация решения (9.4.12) требует табулирования функции сопротивления R.