13.6. Неустановившийся приток жидкости и газа к несовершенной галерее (вертикальной трещине грп) и горизонтальному стволу скважины по двухзонной схеме

Рассмотрим одномерное прямолинейно-параллельное движение в обычном пористом пласте. Например, в случае одностороннего притока малосжимаемой жидкости к галерее (см. рис.13.2) давление вдоль пласта распределяется по линейному закону [0≤ ≤(l₁–h)]:

(13.6.1)

где

Р_к=const – давление на контуре питания;

Р₀=Р_г – давление на фиктивной галерее;

K – коэффициент проницаемости пласта по горизонтали;

m – коэффициент абсолютной вязкости жидкости;

q – расход на единицу площади сечения пласта, имеющий размерность скорости;

l – длина пласта;

х – координата.

Последующее изложение задачи связано с работой [23].

1. Случай Р₀=const, .

В соответствии с работой [37] для нестационарного притока малосжимаемой жидкости в упруго-пористой среде для малых значений t или при 1 имеем следующее решение для распределения давления и формулу дебита:

, (13.6.2)

, (13.6.2')

где

erfcZ – дополнительный интеграл вероятностей (интеграл Гаусса) [38];

Р₀=const – давление на фиктивной галерее (см. рис. 13.2);

æ – коэффициент пьезопроводности;

Р₀(х) – стационарное значение давления.

Р( =Р₀ – на контуре галереи (l₁–h₀).

Далее рассмотрим приток к несовершенной галерее (щели) в однородно-анизотропном пласте (см. рис. 13.2). Разделим условно область течения на две зоны [2]: I – зона пространственного движения размером по длине равной толщине пласта h₀; II – зона одномерного плоско-параллельного движения. Галерею примем за линию стоков. Если принять h₀ как ширину укрупненной галереи и (l–h₀) как длину пласта, то для течения в зоне II будет справедливо совместное решение (13.6.1) и (13.6.2) при х≤(l₁–h₀), Р_г=Р₀ и при замене длины l на (l–h₀).

После ряда преобразований из указанного совместного решения получаем уравнение притока для фиктивной галереи:

(13.6.3)

где

; (13.6.4)

– параметр Фурье.

Полагая в зоне I движение квазиустановившееся [39], используем решение для одностороннего притока к несовершенной галерее (вертикальной трещине) [4,7], которое в соответствии с двухзонной схемой притока в наших обозначениях записывается в виде:

(13.6.5)

Решение (13.6.5) дает распределение давления (потенциала) в зоне пространственного движения 1 (см. рис.13.2), которое может быть использовано в расчетах предельных безводных и безгазовых дебитов горизонтальных стволов.

За расчетное давление на галерее (трещины) примем усредненное его значение вдоль вскрытой толщины пласта вертикальной трещиной

(13.6.6)

Внося (13.6.5) в (13.6.6) и интегрируя при , получаем

(13.6.7)

где

(13.6.8)

Решая совместно (13.6.3) и (13.6.7), используя формулу , после ряда преобразований определяем удельный расход жидкости q₀ (м²/с) по вскрытой высоте трещины при двухстороннем контуре питания (l=2l₁):

(13.6.9)

где

(13.6.10)

(13.6.10')

При t→0, ₀=∞ имеем еrfсZ=0. Тогда для установившегося притока к "несовершенной" вертикальной трещине второе слагаемое в квадратных скобках формулы (13.6.10) обращается в нуль, а расход на единицу ширины потока q(t)=q₀=const. Eсли трещина вскрывает всю толщину пласта то во всей области х=l₁ имеет место плоскопараллельная фильтрация, а удельный расход, как это следует из (13.6.9) и (13.6.10) определится по формуле

(13.6.11)

2. Случай Р₀=cоnst, .

Согласно [37] решение для нестационарного распределения давления в зоне плоскопараллельного движения II с учетом формулы (13.6.2') записывается в виде

(13.6.12)

На контуре фиктивной галерее =(l₁–h₀) имеем Р( ,t)=Р₀. Тогда из уравнения (13.6.12) следует

(13.6.13)

Решая совместно (13.6.1) и (13.6.13), находим

(13.6.14)

Далее, из совместного решения (13.6.5) и (13.6.14), выражая расход q(t) на единицу площади через удельный расход на единицу ширины трещины при l=2l₁ (с двухсторонним притоком)

(13.6.14')

после ряда преобразований получаем расчетную формулу для удельного дебита трещины (13.6.9), в которой фильтрационное сопротивление J_тр принимает выражение:

_, (13.6.15)

где

(13.6.15')

Если условие этого случая ₀<<1 не выполняется, тогда второе слагаемое в квадратных скобках следует опустить. Тогда формула (13.6.15) будет характеризовать установившийся процесс.

3. Случай заданного расхода q=q (t) на единицу площади сечения пласта (м/с)

Согласно [37] имеем

, (13.6.16)

где

. (13.6.17)

Учитывая, что Р(х,t)=Р₀ – начальное давление на границе зон, для зоны II x= и длине пласта h(l₁–h₀) получаем:

, (13.6.18)

где

. (13.5.19)

Решая (13.6.18) совместно с (13.6.1), находим

. (13.6.20)

Усредненное давление вдоль трещины как функция времени определится из совместного решения (13.6.7) и (13.6.20), с учетом перехода к удельному расходу, по формуле (13.6.14') уравнением

(13.6.21)

При функция (13.6.19) принимает вид:

, (13.6.22)

где

(13.6.23)

Сделаем замену переменных: ; пределы меняются: при t=0 следует х=t; при t=t следует х=0. Интеграл преобразуется к виду

(13.6.24)

Произведем еще раз замену переменных:

.

С учетом этого интеграл (13.6.24) принимает вид:

(13.6.25)

Имеется несобственный интеграл [38]

. (13.6.26)

Сравнивая (13.6.25) и (13.6.23) и замечая, что в выражение (13.6.25) и , получаем:

;

учитывая, что (1–erfZ)=erfcZ, находим

. (13.6.27)

При имеем:

. (13.6.28)

или

. (13.6.29)

Внося (13.6.29) в выражение (13.6.27), находим Y(t)=0. Таким образом, при процесс фильтрации становится стационарным, который будет описываться уравнением (13.6.28) при Ф(t)=0.

При формула (13.6.22), входящая в (13.6.21), с учетом (13.6.27), преобразуется к виду:

(13.6.30)

где

Таким образом, внося (13.6.30) в уравнение (13.6.21), нетрудно получить формулу удельного расхода q(t) трещины, который при постоянной депрессии ΔР_тр=Р_к–Р_тр=const будет зависеть от фильтрационного сопротивления

(13.6.31)

где С₁(ρ, ,l^*) определяется по формуле (13.6.10'). Для "совершенной" трещины =1, следовательно С₁=0.