Уравнение Бернулли

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости, которая является баротропной средой (в таких средах давление зависит только от плотности, ). Пусть на жидкость действуют массовые силы консервативной природы (например, сила тяжести). математически это означает, что существует потенциальная функция со свойством

, , .

В таких условиях уравнения Эйлера (2.15) допускают интеграл. преобразуем систему (2.15б) посредством умножения каждого из уравнений соответственно на , и и почленного их сложения. Тем самым мы проецируем уравнения гидродинамики на линию тока. В левой части имеем

.

Справа получаем

,

где – функция давления. Таким образом,

либо . (2.17)

Это соотношение называют уравнением Бернулли в дифференциальной форме. Его следствием является интеграл Бернулли:

(вдоль линии тока). (2.18)

Частные случаи

А) При движении несжимаемой жидкости в поле силы тяжести (, , )

. (2.19)

Б) Для адиабатического течения идеального газа [см. (2.16)]

. (2.20)

Соотношение (2.19) остается справедливым для любой линии тока, проходящей внутри струйки. Поэтому (2.19) можно назвать интегралом Бернулли для струйки идеальной жидкости. Для двух произвольных поперечных сечений струйки можно записать:

. (2.21)

Выясним физический смысл величин, входящих в интеграл Бернулли. Первые два члена выражают удельную потенциальную энергию (положения и давления ), а третий – удельную кинетическую энергию. Следовательно, полная удельная энергия в любом сечении струйки остается неизменной. Другими словами, уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии.

В практических приложениях широко используется другая форма уравнения Бернулли – форма напоров. Разделив обе части уравнения (2.21) на ускорение свободного падения , получим

. (2.22)

Каждый член (2.22) имеет линейную размерность и выражает напор, под которым в общем случае понимают высоту столба жидкости, уравновешивающего давление в данной точке. Таким образом, – геометрический напор, характеризующий положение жидкой частицы над плоскостью отсчета; – пьезометрический напор, т. е. – высота столба жидкости, уравновешивающего давление в данной точке; – скоростной напор.

Сумма двух первых членов носит название гидростатического напора, а трех – полного либо гидродинамического напора . Таким образом, интегралу Бернулли придается геометрическое толкование, которое сводится к следующему. Сумма трех высот: геометрической (), пьезометрической () и скоростной () есть величина постоянная вдоль струйки. Иными словами, полный напор при движении вдоль идеальной струйки остается неизменным.

Примеры применения интеграла Бернулли

1. Измерения скорости и давления. Рассмотрим обтекание тела потоком невесомой несжимаемой жидкости (рис. 2.4). Параметры потока в сечениях I и II трубки тока связаны уравнением Бернулли

,

где и – соответствующие статические и динамические давления.

Рис. 2.4. К измерению скорости и давления в потоке

Сумма статического и динамического давлений называется полным давлением или давлением торможения и для данной трубки тока является постоянной величиной.

Если сечение 1-1 поместить достаточно далеко, то поток в этом сечении можно считать невозмущенным с параметрами и . Очевидно, что

.

Отсюда находим скорость невозмущенного потока:

.

Видим, что для определения скорости необходимо измерить полное и статическое давления в набегающем потоке (или их раз­ность).

Для измерения полного давления поток нужно полностью затормо­зить, что и происходит в точке торможения (точка A на рис. 2.4). С этой же целью можно использовать диск с отверстием, установ­ленный перепендикулярно потоку (рис. 2.5).

Статическое давление – это давление, которое действовало бы на стенку, если бы она двигалась вместе с потоком. Поэтому измерять его нужно на части поверхности тела, расположенной параллельно направлению потока (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Приемники полного и статического давлений

2. Скорость истечения жидкости. Определим скорость истечения несжимаемой тяжелой жидкости из большого открытого сосуда через отверстие. Свяжем начало координат с отверстием, в котором , и направим ось вертикально вверх. Пусть и – площади соответственно свободной поверхности жидкости в сосуде и отверстия; и – средние скорости жидкости на поверхности и в отверстии. В данном случае будет справедливо уравнение неразрывности (2.13)

.

Давление на свободной поверхности (при ) будет также равно . Запишем интеграл Бернулли (2.21), связывающий параметры на свободной поверхности и в отверстии:

.

Отсюда находим

, или , т.е. .

Если соотношение мало, то, пренебрегая в знаменателе слагаемым , получаем для скорости истечения формулу Торичелли

. (2.23)

3. Скорость истечения газа. Рассмотрим установившееся адиабатическое истечение газа из большого закрытого сосуда. Пусть давление и плотность газа в сосуде равны и , атмосферное давление и плотность воздуха – и . Будем считать, что движение газа происходит в основном вблизи отверстия, а в остальной части сосуда его скорость пренебрежимо мала. Также пренебрегаем силой тяжести. Тогда интеграл (2.20) запишется:

,

откуда

. (2.24)

Анализируя полученное выражение, видим, что истечение газовой среды возможно только в том случае, если давление газа в сосуде превосходит атмосферное, .