2.3. Уравнения движения вязкой жидкости. Обобщенный интеграл Бернулли Уравнения и режимы движения вязкой жидкости

В потоке вязкой жидкости кроме поверхностных сил давления действуют поверхностные силы вязкой природы.

Будем считать, что течение жидкости происходит при постоянной температуре (изотермическое). В этом случае вязкость также постоянна и уравнения движения несжимаемой жидкости принимают вид

, (2.37а)

где – дифференциальный оператор Лапласа. Уравнения (2.37а) называются уравнениями Навье–Стокса по фамилиям ученых, впервые их получивших.

Постановка задач о движениях вязкой жидкости имеет особенности. Так при обтекании неподвижного тела потоком вязкой жидкости на поверхности тела должны обращаться в нуль как нормальная, так и тангенциальная составляющие скорости.

Перейдем в (2.37а) к безразмерным координатам , , и с масштабами времени , длины , скорости и давления :

. (2.37б)

Здесь

(2.38а)

– число Рейнольдса, одно из основных чисел подобия в гидродинамике, отражающее соотношение между инерционными и вязкими силами.

В зависимости от рода жидкости, скорости ее движения и характера стенок, ограничивающих поток, различают два основных режима движения вязкой среды: ламинарный и турбулентный.

Ламинарным называют упорядоченное движение, когда отдельные слои скользят друг по другу, не перемешиваясь. Ламинарный режим движения можно наблюдать чаще у вязких жидкостей, таких как нефть, масла и т.п.

Турбулентным называют режим, при котором наблюдается беспорядочное движение, когда частицы жидкости движутся по сложным траекториям и слои жидкости постоянно перемешиваются друг с другом.

Значение числа , при котором ламинарный режим переходит в турбулентный, называют критическим числом Рейнольдса . Если фактическое значение числа , вычисленного по формуле (2.38а), будет больше критического, , то режим движения жидкости турбулентный, если – ламинарный.

Для напорного (под действием градиента давления) движения в цилиндрических трубах удобно определять по диаметру трубы :

. (2.38б)

В этом случае 2300. Для других трубопроводов и каналов некруглых сечений можно принимать 1200. Для внешних течений критическое число Рейнольдса обычно порядка 10⁵.

Пример 2.1.  Оценить числа Рейнольдса различных течений.

Решение. Движение крови в сосудах: 200. Движение воды в трубах: . Обтекание зданий: . Движение воды в руслах рек: .

Некоторые решения уравнений Навье–Стокса

Уравнения движения вязкой жидкости (2.38) имеют ограниченное число точных решений, в частности, в случае так называемых слоистых течений. Рассмотрим примеры.

А) Течение в плоском канале. Рассмотрим стационарное течение между двумя покоящимися параллельными плоскими стенками. Направим ось O по оси канала, ось O – перпендикулярно. Тогда естественно положить, что . Уравнение для продольной составляющий скорости примет вид

, (2.39)

где – заданный перепад давления на участке канала длиной . Если расстояние между стенками , то граничные условия таковы: при .

Дважды проинтегрировав уравнение (2.39), получим параболический профиль скорости

,

где – максимальное значение скорости, достигаемое на оси канала. Объемный расход [по (2.10), где  м]

;

средняя скорость согласно (2.12)

.

Напряжение трения на стенке

.

Зная , можно определить силу сопротивления трения участка канала, приходящуюся на 1 м в направлении координаты :

.

б) Течение в круглой трубе (течение Хагена–Пуазейля). Введем цилиндрические координаты (, , ), причем пусть ось трубы совпадает с осью O. Предположим, что поле скорости осесимметрично, т.е. продольная компонента скорости зависит только от радиальной координаты . Уравнение движения принимает вид

(2.40)

с граничным условием: при . Проинтегрировав (2.40), получим

• профиль скорости

,

где максимальная скорость (скорость на оси трубы)

;

• объемный расход

(2.41)

(закон Хагена–Пуазейля);

• среднюю скорость

; (2.42)

• напряжение на стенке

;

• силу сопротивления трения участка трубы

.