Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Рассмотрим условия равновесия объема жидкости малых размеров в виде параллелепипеда (рис. 1.5).

Пусть на объем действует массовая сила На левую и правую грани параллелепипеда действуют силы давления и соответственно. На переднюю и заднюю грани: и , на нижнюю и верхнюю грани: и . Уравнения равновесия выделенного объема жидкости имеют вид:

,

,

,

или

.

Здесь

,

и аналогично для других направлений. Проекции массовой силы на координатные оси:

,

,

,

где и – соответствующие проекции ускорения.

Рис. 1.5. К выводу уравнений равновесия жидкости

В итоге получаем систему дифференциальных уравнений гидростатики (уравнения Эйлера):

,

,

,

или в векторной форме

, (1.18)

где – поле массовых сил, – дифференциальный оператор.

Из (1.18), в частности, следует, что приращение (полный дифференциал) давления при изменении координат жидкой частицы на равно

. (1.19)

Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, направленная вдоль оси , то 0, и уравнение (1.19) приобретает вид

. (1.20)

Отсюда интегрированием получаем основное уравнение гидростатики. Рассмотрим пример равновесного состояния газа в поле сил тяжести.

Равновесие газов. Стандартная атмосфера

Стандартная атмосфера представляет собой идеальный (1.7) весомый газ, находящийся в механическом равновесии (1.20). Температура воздуха зависит от высоты:

где – темп убывания температуры с высотой (градиент температуры).

Найдем распределения по высоте остальных параметров. Подстановкой зависимости в (1.7) получаем связь плотности воздуха с высотой и давлением. Интегрируя затем уравнение (1.20), находим

где , и – параметры атмосферы на уровне моря (), .

Можно показать, что данное равновесное состояние устойчиво, если градиент температуры не превышает критического значения,

,

где – удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении. В противном случае в атмосфере возникают конвективные течения, стремящиеся перемешать среду так, чтобы в ней установилась постоянная температура.

Силы давления жидкости на поверхности тел

З

Рис. 1.6. К определению силы давления жидкости на стенку

адачи, связанные с определением сил давления на поверхности погруженных в жидкость тел, играют важную роль в практике (проч­ность гидротехнических сооружений, крепежных соединений различ­ных резервуаров, находящихся под давле­нием).

Найдем выражение для силы избыточ­ного давления жидкости на поверхность ограничивающей стенки. Сила, действую­щая на элементарную площадку dS (рис. 1.6), равна

,

где – гидростатическое давление в центре площадки, – внешняя нормаль к ней. На всю площадь действует сила

. (1.21)

В частности, по осям

, (1.22)

, (1.23)

где – вертикальная и – горизонтальная проекции dS.

Рассмотрим горизонтальную составляющую. Как известно, инте­грал в (1.22) есть статический момент площади, равный произ­ведению , где – координата центра тяжести вертикаль­ной проекции. Следовательно,

. (1.24)

т. е. горизонтальная составляющая силы равна произведению вертикальной проекции стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой проекции.

Перейдем к расчету вертикальной составляющей. Для этого исполь­зуем последнее равенство в (1.21), где учтем, что при равновесии в вертикальном поле силы тяжести 0, (рис. 1.6) и, значит,

. (1.25)

Таким образом, вертикальная составляющая равна весу жидкости, заключенному в объеме тела давления . Тело давления – это объем жидкости, ограниченный данной криволинейной стенкой, вертикаль­ной плоскостью, проведенной через нижнюю образующую стенки, и свободной поверхностью жидкости (рис. 1.7). Если объем находится с не­сма­чи­ваемой стороны стенки, вес тела давления считается отрица­тельным (направленным вверх).

В частности, если тело погружено в жидкость (полностью или частично), то на него будет действовать выталкивающая гидростатическая сила – сила Архимеда, равная по величине весу жидкости, вытесненной погруженной частью тела.

Если ограничивающая стенка плоская, то сила давления на плоскую поверхность будет направлена по нормали к стенке и равна произве­дению площади поверхности на гидро­ста­тическое давление в центре тяжести этой поверхности:

, или , (1.26)

где – глубина погружения центра тяжести смоченной площади стенки.

Рис. 1.7. К расчету объема тела давления

Пример 1.5. Определить силу суммарного давления воды на плоский щит, перекрывающий канал, и усилие, необходимое для подъема щита. Ширина канала 1.8 м, глубина воды в канале 2.2 м. Масса щита 1500 кг, коэффициент трения щита по опорам 0.25 (рис. 1.8).

Рис. 1.8. К примеру 1.5

Решение. Силу суммарного давления на щит определяем по фор­муле (1.26), где учтем, что , : = 42.7 кН. Усилие, необходимое для подъема щита, 25.4 кН.