Безвихревое (потенциальное) движение жидкости

1. Потенциал скорости и функция тока. Движение жидкости называется безвихревым, если

(2.25)

во всей области течения. Напомним, что ротор векторного поля определяется формулой

В этом случае поле скоростей можно представить в виде градиента некоторой скалярной функции:

. (2.26)

Функция называется потенциалом скорости. Таким образом, безвихревое движение жидкости оказывается потенциальным. Верно и обратное.

Рассмотрим плоское установившееся безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости в поле консервативных массовых сил. Для описания такого движения имеем:

• уравнение неразрывности

; (2.27)

• условие отсутствия вихрей (2.25)

; (2.28)

• интеграл Бернулли в форме (2.18)

. (2.29)

Выведем уравнение для потенциала скорости. Согласно (2.26)

, . (2.30)

Подставим соотношения (2.30) в уравнение неразрывности (2.27):

. (2.31)

Граничными условиями для уравнения (2.31) являются:

– на поверхности обтекаемого тела , т.е. , где – вектор нормали;

– на бесконечности , т.е. , , где – скорость невозмущенного потока.

Таким образом, для определения необходимо решить задачу Неймана для уравнения Лапласа – потенциал скорости является гармонической функцией.

Заметим далее, что уравнение неразрывности (2.27) выполняется тождественно, если

, , (2.32)

где – некоторая функция. Полный дифференциал равен

. (2.33)

Сравнивая (2.33) с уравнением линий тока (2.3) в плоском течении, видим, что вдоль линий тока

, .

Функция называется функцией тока. Равенство дает уравнение линии тока и, в частности, контура обтекаемого тела:

,

где – координата вдоль контура. Отсюда на границе тела. С помощью функции можно рассчитать расход жидкости, протекающей через произвольную кривую AB (рис. 2.6):

,

т

Рис. 2.6. К расчету расхода через произвольную кривую

.е. расход жидкости через кривую равен разности значений функции тока на концах этой кривой.

Подчеркнем, что для того чтобы ввести функцию тока, вообще говоря, не требуется потенциальность потока. Для определения без­вихревого течения необходимо решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа, т.е. функция тока, как и потенциал, является гармоничес­кой функцией.

2. Комплексный потенциал. Сравним выражения для составляющих скорости согласно (2.30) и (2.32):

, .

Это известные из теории функций комплексного переменного условия Коши–Римана, которые гарантируют, что функция

является аналитической функцией комплексного аргумента . Функция называется комплексным потенциалом течения. Нетрудно показать, что

, (2.34)

т. е. производная совпадает с сопряженной комплексной ско­ростью.

Как было показано выше, при безотрывном обтекании твердой стенки идеальной жидкостью эта стенка является линией тока. Поэтому в течении с каким-либо комплексным потенциалом можно любую линию тока заменить твердой стенкой и будет описывать обтекание этой стенки (принцип отвердевания). Поясним на примере.

Рассмотрим потенциал

. (2.35)

Отделяя действительную и мнимую части, находим:

,

т.е. линии тока определяются соотношением

.

Например, при :

, т.е. и .

Как видно, линией тока данного течения является, в частности, окружность. Поэтому согласно принципу отвердевания комплексный потенциал (2.35) описывает обтекание бесконечного круглого цилиндра радиуса .

Проанализируем картину течения. Сопряженная комплексная скорость

,

с другой стороны, . Поэтому при получаем , т.е. , . Это означает, что скорость натекающего на цилиндр потока равна на бесконечности и параллельна оси (рис. 2.7). Компоненты скорости равны:

, , (2.36а)

или в полярных координатах , :

, . (2.36б)

Полагая в (2.36б) , получаем скорость на поверхности цилиндра: (т.е. обтекание безотрывное), .

В точках A и B скорость равна нулю, эти точки – критические. В точках и скорость имеет наибольшую вели­чину, равную – удвоенной скорости набегающего потока.

Для оценки силового воздействия потока на тело найдем коэффициент давления согласно уравнению Бернулли (2.29):

,

т. е. на поверхности цилиндра

.

На контуре САD в передней критической точке А коэффициент давления имеет максимальное значение, затем при движении к точкам С и D происходит разгон жидкости от нуля до . Это конфузорная часть контура. На участке СВD скорость падает и давление растет – это диффузорная часть контура.

Картина обтекания кругового цилиндра симметрична относительно как оси Оx, так и оси Oy. Поэтому главный вектор сил давления жидкости на цилиндр равен нулю.

Данный результат называется парадоксом Даламбера: при обтекании идеальным потоком тела реакция между ним и потоком отсутствует. Парадокс Даламбера опровергается при рассмотрении реального вязкого течения с образованием вихрей в пограничном слое вокруг тела, с отрывом слоев вблизи миделевых точек D и С (см. раздел 5).

Н.Е. Жуковский показал, что если идеальный поток обтекает круговой цилиндр, имеющий вращение, то возникает подъемная сила.

Рис. 2.7. Обтекание кругового цилиндра