§ 1.15. Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії
Повертаючись до формул (1.66), (1.67) прирівняємо їх праві частини
.
Це рівняння перетворює в тотожність функція
.
(1.68)
Довільну
сталу
у виразі (1.68)
виберемо такою, щоб при
енергія
була рівною нулю. За такої умови
.
Звідки
.
Отже, потенціальна енергія гравітаційної
взаємодії має вираження
.
(1.69)
Формулу (1.69) застосовують у механіці космічних польотів. В задачах про рух тіл біля Землі користуються наближеним виразом потенціальної енергії.
Для його виведення запишемо (1.68) в дещо іншому вигляді
,
де
і
– відповідно радіус Землі і висота
піднімання тіла, також бралось до уваги,
що прискорення вільного падіння біля
поверхні Землі
.
Біля
поверхні Землі
.
Тоді
.
Довільну
сталу
виберемо такою, щоб при
енергія
.
За такої умови
.
Звідки
.
Отже, для потенціальної енергії тіла
біля поверхні Землі, тобто в однорідному
полі сил тяжіння можна користуватись
формулою
.
§ 1.16. Потенціальна енергія пружної взаємодії
У
разі повздовжнього розтягу або стиску
тіла (наприклад, пружини вздовж осі
)
сила пружності
,
де
– коефіцієнт пружності,
– вектор деформації (
орт осі
).
Робота сили пружності
.
За формулою (1.67) маємо
.
Розв’язком
цього рівняння є функція
,
де
– довільна стала. Її вибирають такою,
щоб енергія недеформованого
тіла була рівною нулю. Така умова дає,
що
.
Отже, потенціальна енергія пружної взаємодії виражається формулою
.
§ 1.17. Повна механічна енергія. Закон збереження повної механічної енергії.
Звернемось до теореми про зміну кінетичної енергії системи, формула (1.65)
.
Нагадаємо,
що
робота внутрішніх сил.
Припустимо, що внутрішні і частина зовнішніх сил є потенціальними. Згідно (1.67) робота таких сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи
,
де
– робота зовнішніх потенціальних сил.
Тоді вихідну формулу можна записати у вигляді
або
,
(1.70)
де
– робота зовнішніх непотенціальних
сил.
Енергію
,
що дорівнює сумі кінетичної і потенціальної
називають повною механічною енергією.
Із (1.70) слідує, що
або
.
Отже, зміна повної механічної енергії системи дорівнює роботі зовнішніх непотенціальних сил.
Якщо зовнішні непотенціальні сили відсутні, то
або
.
(1.71)
Рівність (1.71) виражає закон збереження повної механічної енергії: в системі тіл, між якими діють лише потенціальні сили, повна механічна енергія зберігається, тобто не змінюється з часом.
Механічні системи, на тіла яких діють лише потенціальні сили, називаються консервативними.
Існує
ще один вид систем – дисипативні системи,
в яких діють непотенціальні сили.
Характерним прикладом дисипативних
систем є системи, в яких діють сили
тертя. Робота сил тертя від’ємна
.
Тоді
,
тобто повна механічна енергія системи,
в якій діють сили тертя, зменшується –
механічна енергія перетворюється в
теплову.
При зменшенні повної механічної енергії завжди виникає еквівалентна кількість енергії іншого виду. Енергія ніколи не зникає і появляється знову, вона лише перетворюється із одного виду в інший. В цьому і полягає фізична суть закону збереження і перетворення енергії.