§ 2.12. Адіабатичний процес. Рівняння Пуасона

Адіабатичним (або адіабатним) називається процес, що протікає без теплообміну з навколишнім середовищем. Умова такого процесу: (або Q=0). Застосовуючи до адіабатичного процесу 1-й принцип термодинаміки (2.29), маємо

, (2.39)

тобто при адіабатичному розширенні газ виконує роботу за рахунок запасу його внутрішньої енергії. При цьому ідеальний газ охолоджується. Дійсно, взявши до уваги вираз для внутрішньої енергії (2.37), маємо

. (2.40)

Звідси бачимо, що при розширенні газу (A>0) приріст температури , в чому і треба було переконатися. Описане явище –– спосіб отримання низьких температур.

Вираз (2.40) дозволяє розрахувати роботу ідеального газу при адіабатичному процесі. Якщо використати рівняння Менделєєва-Клапейрона, то цю роботу можна виразити через параметри p та V.

Щоб здійснити адіабатичний процес, треба надійно теплоізолювати систему або здійснювати його дуже швидко, щоб теплообмін практично не встигав відбутися. Другий з цих варіантів зустрічається у природі. Наприклад, величезні маси атмосферного повітря, нагріваючись біля поверхні Землі, піднімаються вгору, потрапляють в області нижчих тисків і розширюються. Цей процес адіабатичний, бо через погану теплопровідність повітря теплообміном при цьому можна знехтувати. Виконуючи роботу розширення проти зовнішнього тиску, повітря охолоджується, а водяна пара перетворюється в насичену й конденсується (хмари).

Згущення і розрідження, що утворюються у звуковій хвилі в газах, – це також по суті процеси адіабатичного стиснення і розширення газу. Оскільки швидкість поширення звуку немала (340 м/с при кімнатних температурах), процеси тут відбуваються так швидко, що за цей короткий час теплообміном можна знехтувати.

Приступимо тепер до виведення рівняння адіабати. За основу беремо вираз 1-го принципу термодинаміки для цього процесу (в диференціальній формі (2.30)):

. (2.41)

Розпишемо ліву і праву частину цього рівняння. Елементарну роботу розрахуємо на основі формули (2.25), причому тиск підставимо, взявши його з рівняння Менделєєва-Клапейрона (2.3):

.

Елементарний приріст внутрішньої енергії dU запишемо, продиференціювавши вираз (2.37):

.

Тепер замість (2.41) маємо

.

Поділимо далі останнє рівняння на добуток і одержимо

. (2.42)

Коефіцієнт запишемо, виразивши газову сталу через різницю з рівняння Майєра (2.38):

,

де введено позначення . (2.43)

Тепер співвідношення (2.42) приймає вигляд

.

Оскільки , то наше рівняння запишеться у формі

або .

Звідси випливає, що

або . (2.44)

Співвідношення (2.44) є рівнянням адіабати або рівнянням Пуасона. Параметр , введений вище, називається показником адіабати або коефіцієнтом Пуасона. Для повітря, наприклад, (у сухому повітрі 99 % двохатомних молекул!). В загальному випадку , оскільки .

Визначаючи абсолютну температуру з рівняння Менделєєва-Клапейрона і підставляючи одержаний вираз у співвідношення (2.44), одержимо іншу форму запису рівняння Пуасона:

. (2.45)

З

Рис. 2.9

гадаємо, що рівняння ізотерми . Порівняння двох останніх виразів приводить до висновку, що адіабата графічно “крутіша” від ізотерми (див. рис.2.9).

Якщо з рівняння Менделєєва-Клапейрона або з рівняння (2.45) визначити об’єм V і підставити одержаний вираз у (2.44), то матимемо третю форму запису рівняння Пуасона

. (2.46)

Зауваження: 1) рівняння Пуасона (2.44–46) правильні за умови, що кількість газу (чи його маса) незмінні під час процесу; 2) величини “const” у всіх виписаних рівняннях різні.