§ 3.8. Енергія зарядженого тіла і конденсатора. Енергія і густина енергії електричного поля

Розглянемо відокремлений провідник з електроємністю і електричним зарядом . Потенціал провідника рівний

. (3.116)

Перенесемо з нескінченності, де потенціал рівний нулю, елементарний заряд на поверхню провідника. При цьому електричним полем буде виконана робота

. (3.117)

Між однойменними електричними зарядами і діють сили відштовхування. Тому при наближенні елементарного заряду до заряду переміщення відбувається в напрямку протилежному до напрямку дії сили. Внаслідок цього електричне поле виконує від’ємну роботу.

Зміна потенціальної енергії рівна виконаній роботі з протилежним знаком, тобто

. (3.118)

Підставивши (3.116) в (3.118) і проінтегрувавши, дістанемо формулу енергії зарядженого провідника

, (3.119)

де А – постійна інтегрування. Будемо вважати, що енергія незарядженого провідника рівна нулю

; . (3.120)

Підставимо умови (3.120) у вираз (3.119) і визначимо постійну інтегрування А

. (3.121)

Підставимо (3.121) у формулу (3.119) і одержимо формулу потенціальної енергії зарядженого провідника

. (3.122)

Використовуючи формулу (3.116) можна отримати інші формули для енергії зарядженого провідника:

; . (3.123)

Розглянемо конденсатор з електроємністю с, якому наданий електричний заряд q. Напруга між обкладками конденсатора рівна

. (3.124)

Перенесемо з однієї обкладки на іншу елементарний заряд dq. При цьому електричним полем буде виконана від’ємна робота, оскільки переміщення заряду dq здійснюється проти сили електричного поля

.

Зміна потенціальної енергії конденсатора рівна виконаній роботі з протилежним знаком, тому вона рівна

. (3.125)

Підставимо (3.126) і використовуючи формулу (3.124) отримаємо формули енергії зарядженого конденсатора

. (3.127)

Знайдемо густину енергії зарядженого плоского конденсатора. Підставимо вираз для електроємності плоского конденсатора (3.103) у формулу (3.127)

. (3.128)

Введемо позначення

, (3.129)

де v – об’єм простору між обкладками плоского конденсатора. Підставимо (3.129) і вираз (3.101) напруженості електричного поля всередині плоского конденсатора у формулу (3.128)

. (3.130)

Враховуючи зв’язок між напруженістю та індукцією електричного поля (3.7) формулу (3.130) можна представити також у вигляді

. (3.131)

Формули (3.130) і (3.131) виражають енергію зарядженого плоского конденсатора через такі характеристики електричного поля як напруженість та індукція, а також через об’єм простору в якому локалізоване електричне поле. Тому можна зробити висновок, що електричне поле володіє енергією.

Густиною енергії електричного поля називається фізична величина рівна енергії електричного поля в одиниці об’єму простору де міститься електричне поле

. (3.132)

Якщо електричне поле однорідне, то густину енергії електричного поля можна визначити за формулою

. (3.133)

Підставимо вирази (3.130) і (3.131) у формулу (3.133). отримаємо формули густини енергії електричного поля

. (3.134)

Із формули (3.132) визначимо диференціал енергії електричного поля

. (3.135)

Підставимо (3.134) в (3.135)

. (3.136)

Проінтегруємо вираз (3.136) по деякому об’єму

. (3.137)

Ці формули дозволяють визначити енергію неоднорідного електричного поля.