§ 2.6. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у потенціальному полі

Атмосферний тиск на висоті h над Землею зумовлений вагою шарів повітря, що знаходяться на більших від h висотах. Позначимо тиск на висоті h через р. Тоді

, (2.19)

F

Рис. 2.4

– вага циліндричного стовпа повітря, S – площа основи циліндра (див. рис.2.4). На висоті h+dh тиск буде p+dp, причому на основі виразу (2.19)

.

Із збільшенням висоти h вага верхнього стовпа повітря зменшується , а вага нижнього стовпчика (заштрихованого на рис. 2.4) зростає на стільки ж . Тому .

Далі

,

де dm – маса молекул повітря в заштрихованому елементарному об’ємі dV, g – прискорення вільнопадаючих тіл, – густина повітря на висоті h. Видно, що при виведенні співвідношення

(2.20)

зміною і g в об’ємі dV знехтувано.

Повітря мало відрізняється від ідеального газу при звичайних умовах, тому

(2.21)

(див. формулу (2.4) з відповідними позначеннями). Молярна маса повітря (визначена на основі співвідношення (2.9) з урахуванням процентного вмісту азоту, кисню та інших газів).

Підставимо вираз (2.21) у рівняння (2.20) і одержане співвідношення розділимо на р. В результаті маємо

.

Будемо вважати нижче величини Т і g незалежними від h (таке допущення годиться для невеликих висот). Тоді останнє рівняння є диференціальним рівнянням з розділеними змінними. Інтегруючи його, маємо

,

с – деяка постійна величина. Потенціюємо тепер одержане співвідношення і одержимо

Рис.2.5

.

Нехай на поверхні Землі (h=0) p=p₀. Тоді с=р₀ і остаточно маємо

. (2.22)

Формула (2.22) називається барометричною. З неї випливає, що тиск газу зменшується з висотою за експоненціальним законом, причому тим швидше, чим важчий газ і чим нижча температура. Залежність атмосферного тиску від висоти графічно відображена на рис.2.5. Оцінка на основі виразу (2.22) дає, що при підйомі на 6 км тиск падає приблизно у два рази.

Виразимо тепер у формулі (2.22) тиск через концентрацію молекул на основі рівняння стану (2.7):

( тут концентрація молекул на висоті , а не стала Лошмідта!). Перейдемо також від молярної маси до маси однієї молекули за відомим зв’язком . Тоді матимемо

. (2.23)

Останній вираз дає розподіл концентрації молекул в залежності від висоти над Землею, а саме: із збільшенням висоти концентрація зменшується. Якби абсолютна температура була рівна нулю, то концентрація молекул в атмосфері теж була б рівною нулю, всі вони упали б на Землю під дією сили тяжіння. Саме хаотичний тепловий рух молекул утримує атмосферу.

На висоті h кожна молекула володіє у полі тяжіння потенціальною енергією , тому співвідношення (2.23) можна записати ще так:

. (2.24)

Молекули розміщуються густіше там, де менша їх потенціальна енергія. Больцман довів, що розподіл частинок за їх потенціальними енергіями (2.4) є універсальним, тобто годиться для будь-якого потенціального поля сил, а не лише для поля тяжіння. Тому вираз (2.24) називають розподілом Больцмана.