§ 2.10. Середня кінетична енергія молекул. Внутрішня енергія ідеального газу

Найменше число незалежних величин, які визначають положення системи у просторі, називається числом ступенів вільності системи. Наприклад, матеріальна точка має три ступені вільності, бо досить трьох координат x, y, z, щоб задати її положення. Система з N незалежних (або нежорстко зв’язаних) матеріальних точок має 3N ступенів вільності. Система з двох жорстко зв’язаних точок має п’ять ступенів вільності. Всякий жорсткий зв’язок, що закріплює відстань між двома точками, зменшує число ступенів вільності на одиницю. Тому система з трьох і більше жорстко зв’язаних матеріальних точок з нелінійним розміщенням має шість ступенів вільності. Три з них відповідають поступальному руху центра мас і ще три – обертальному руху системи навколо трьох взаємно перпендикулярних осей.

Молекули в першому наближенні можна розглядати як систему з жорстко зв’язаних матеріальних точок-атомів. При цьому число ступенів вільності для одноатомних молекул і=3, для двохатомних – і=5, для трьох і більше атомних – і=6.

У класичній статистичній фізиці Больцманом доведена теорема, що називається законом рівномірного розподілу кінетичної енергії молекул за ступенями вільності. Формулювання цього закону: на кожний ступінь вільності молекули в середньому припадає однакова кінетична енергія, рівна 1/2 kТ. Це означає, що молекула, яка характеризується числом ступенів вільності “і”, має середню кінетичну енергію

. (2.31)

Наприклад, для одноатомної молекули ця величина рівна 3/2 kT, що співпадає з середньою кінетичною енергією поступального руху (див. формулу (2.14)).

Займемося тепер розрахунком внутрішньої енергії ідеального газу. Молекули ідеального газу не взаємодіють між собою, тому для такої системи внутрішня енергія співпадає з сумарною кінетичною енергією молекул. Внутрішня енергія одного моля ідеального газу . Якщо врахувати тепер вираз (2.31) та означення сталої Больцмана (2.5), то одержуємо . Внутрішня енергія довільної кількості ідеального газу . Остаточно

. (2.32)

§ 2.11. Теплоємність газів. Недоліки класичної теорії теплоємностей

Теплоємність тіла – це фізична величина, що чисельно рівна кількості теплоти, яку необхідно надати тілу, щоб підвищити його температуру на один кельвін.

Питома теплоємність – це теплоємність одиниці маси речовини, тобто вона рівна кількості теплоти, яку необхідно надати одиниці маси речовини, щоб підвищити її температуру на один кельвін:

, (2.33)

– елементарна кількість теплоти, що надається речовині, m – маса речовини, dT – елементарний приріст температури. .

Молярна теплоємність – теплоємність одного моля речовини, тобто кількість теплоти необхідна для нагрівання одного моля речовини на один кельвін:

, (2.34)

– кількість речовини. . Завваживши, що ( – молярна маса), з порівняння формул (2.33) і (2.34) маємо зв’язок молярної теплоємності з питомою

. (2.35)

Теплоємність (питома чи молярна) є характеристикою речовини. Однак, виявляється, вона залежить ще й від процесу, тобто від умов нагрівання тіла. Покажемо це. Розрахуємо молярну теплоємність ідеального газу при сталому об’ємі . З цією метою запишемо математичний вираз 1-го начала термодинаміки для ізохорного процесу . Приріст внутрішньої енергії знайдемо, продиференціювавши співвідношення (2.32):

.

Тепер формула (2.34) дає

.

Остаточно

. (2.36)

Зазначимо попутно, що тепер вираз (2.32) для внутрішньої енергії ідеального газу можна записати у формі

. (2.37)

У випадку ізобаричного процесу вираз 1-го начала термодинаміки такий:

.

Елементарну роботу розрахуємо, виходячи з формули (2.25) і продиференціювавши рівняння Менделєєва-Клапейрона (2.3) за умови p=const:

.

Тепер на основі означення (2.34) маємо для молярної теплоємності ідеального газу при сталому тиску

.

Взявши до уваги формулу (2.36), одержуємо

. (2.38)

Співвідношення (2.38) відоме як рівняння Майєра; воно дає зв’язок між молярними теплоємностями ідеального газу при сталому тиску та при сталому об’ємі.

З виразів (2.36) та (2.38) випливає, що: 1) ; 2) та не залежать від температури. Такі самі висновки робимо і відносно питомих теплоємностей (з огляду на зв’язок (2.35).

Е

Рис.2.8

ксперименти показали, що результати розрахунків близькі до істинних лише для одно- і двоатомних газів і то лише в невеликих температурних інтервалах (в області кімнатних температур). На рис.2.8 подано графічно залежність від Т для водню (число ступенів вільності і=5), одержану дослідним шляхом. Графік свідчить, що класична теорія теплоємностей справджується лише в окремих інтервалах середніх температур. В деякій області низьких температур молекули водню ведуть себе як системи, які мають лише ступені вільності поступального руху (рівень на рис.). З подальшим зниженням температури поступальний рух молекул стихає (“вимерзає”) і при . При високих температурах проявляються ступені вільності, пов’язані з коливанням атомів всередині молекул (подана вище теорія цього не враховує). Правильне тлумачення результатів експерименту буде подано у квантовій теорії теплоємностей.