§ 3.4. Робота сил електричного поля. Теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля. Потенціал

Нехай електричний заряд здійснює елементарне переміщення під дією сили електричного поля напруженістю , як зображено на рис. 3.10. Тоді виконана полем елементарна робота рівна

. (3.56)

З

Рис.3.10

апишемо формулу напруженості електричного поля

. (3.57)

Визначимо з цієї формули силу

. (3.58)

Підставимо вираз (3.58) у формулу (3.56)

, (3.59)

або

. (3.60)

Проінтегрувавши вираз (3.59), одержимо формулу роботи при переміщенні електричного заряду в електричному полі з напруженістю вздовж траєкторії

. (3.61)

Нехай точковий електричний заряд здійснює переміщення в полі іншого точкового електричного заряду , тоді модуль напруженості електричного поля створеного зарядом рівний

. (3.62)

З рисунка одержимо

. (3.63)

Підставимо (3.62) і (3.63) у вираз (3.60)

.

Проінтегруємо цей вираз

. (3.64)

Отже робота сил електричного поля не залежить від форми траєкторії, а залежить лише від положення початкової і кінцевої точки. Тому електростатичне поле є консервативним. При переміщенні електричного заряду по замкненій траєкторії точки 1 і 2 будуть співпадати тому . При цій умові, як випливає із формули (3.64) робота буде дорівнювати нулеві. Тоді формула (3.61) набере вигляду

. (3.65)

Інтеграл по замкнутому контуру від скалярного добутку вектора напруженості електричного поля на елементарний вектор довжини контуру називається циркуляцією вектора напруженості електричного поля. Співвідношення (3.10) – це теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля: циркуляція вектора електростатичного поля по замкнутому контуру рівна нулю.

Робота консервативних сил рівна зміні потенціальної енергії з протилежним знаком

. (3.66)

З порівняння формул (3.64) і (3.65) можна одержати формулу потенціальної енергії взаємодії двох точкових зарядів:

. (3.67)

Для характеристики консервативного поля можна використати поняття потенціалу.

Потенціалом електричного поля називається скалярна фізична величина рівна потенціальній енергії одиничного позитивного точкового заряду вміщеного в дану точку поля

. (3.68)

О

Рис.3.11

диницею вимірювання потенціалу в системі одиниць є вольт. 1В – це потенціал такої точки поля, в якій точковий позитивний заряд величиною 1Кл має потенціальну енергію 1Дж.

Підставивши вираз (3.67) в (3.68) отримаємо формулу потенціалу точкового заряду

. (3.69)

На рис.3.11.зображено залежність потенціалу точкового електричного заряду від відстані графічно.

Продиференціюємо вираз (3.68)

. (3.70)

Оскільки , то

. (3.71)

Підставимо (3.59) в (3.71), отримаємо:

. (3.72)

Проінтегруємо вираз (3.72) вздовж кривої при переміщенні із точки 1 в точку 2

. (3.73)

Формула (3.73) визначає зв’язок між різницею потенціалів і напруженістю електричного поля.

Підставимо вираз (3.73) у формулу (3.61). Отримаємо зв’язок між роботою при переміщенні електричного заряду в електричному полі та різницею потенціалів

. (3.74)

Нехай точковий електричний заряд переміщується під дією електричного поля з напруженістю вздовж осі . Тоді згідно із формулою (3.72) одержимо

, (3.75)

де – проекція вектора на вісь .

Із формули (3.75) одержимо

.

Якщо потенціал електричного поля є функцією не лише координати а також і координат і , то в останній формулі слід використати поняття частинної похідної. Тоді формула набере вигляду

. (3.76)

подібні формули можна отримати і при переміщенні заряду вздовж осей координат і :

, (3.77)

. (3.78)

Виразимо вектор напруженості електричного поля через його проекції на осі координат

, (3.79)

де – орти.

Підставимо (3.76), (3.77) і (3.78) у формулу(3.79)

. (3.80)

Формула (3.80) визначає зв’язок між напруженістю електричного поля і потенціалом. Цю формулу можна представити в більш компактному вигляді використовуючи поняття векторного диференціального оператора градієнт

. (3.81)

Використовуючи (3.81) формулу (3.80) можна представити у вигляді

= - grad (3.82)

Нехай точковий електричний заряд взаємодіє з іншими точковими електричними зарядами , , ... , . Тоді його потенціальна енергія рівна сумі потенціальних енергій взаємодії з кожним із зарядів

. (3.83)

Поділимо рівність (3.83) на

. (3.84)

Використовуючи означення потенціалу (3.68) формулу (3.83) можна записати у вигляді

. (3.85)

І

Рис.3.12

з формули (3.85) випливає, що потенціал електричного поля, створеного системою зарядів, рівний сумі потенціалів полів, створених кожним із зарядів зокрема.

Для графічного зображення електричних полів поряд із силовими лініями використовуються еквіпотенціальні поверхні. Еквіпотенціальною поверхнею називається така поверхня, в кожній точці якої потенціал електричного поля має однакове значення. Тобто еквіпотенціальна поверхня - це поверхня однакового потенціалу. Силові лінії електричного поля перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. На рис.3.12 зображено силові лінії та еквіпотенціальні поверхні точкового позитивного заряду.