формулой (20), используя эффективные восприимчивости и самонаведённые члены для граничных элементов. Таким образом, ВД сохраняет общую численную схему.

В настоящее время, нет строгих теоретических оснований для предпочтений одного варианта МДД другому. Хотя анализ, приведённый в параграфе 2.2.2.4, говорит о предпочтительности некоторых вариантов, эти выводы подлежат численной проверке.

2.1.3.2. Точность МДД вычислений

На протяжении последних 20 лет было опубликовано много работ по точности МДД. Однако систематизировать все эти результаты тяжело, так как в разных работах используются разные параметры, такие как x, m и дискретизация, описывающие конкретную тестовую задачу. Мы будем описывать дискретизацию параметром y = |m|kd или yRe = Re(m)kd. Первый используется везде, где можно, но описание некоторых результатов сильно упрощается в терминах yRe. Результаты по точности моделирования светорассеяния шаром сведены в таблице 1. Рассмотренные работы можно разделить на два типа: те, которые фиксируют x и варьируют N (или количество диполей на радиус шара a/d, что эквивалентно) одновременно с y, и те, которые фиксируют a/d и варьируют x одновременно с y. Первый подход проще интерпретировать, второй проще с практической точки зрения. Для облегчения сравнения между результатами, полученными разными подходами, мы приводим значения и x, и a/d, хотя одно из них является избыточным. В дальнейшем приведена дополнительная информация об этих результатах.

Дрейн и Гудмен [46] сравнили РИ, ДФГ и ДСР для вычисления интегральных сечений шара при a/d = 16. ДФГ в целом более точна чем РИ. При |m − 1| ≤ 1 ДСР превосходит ДФГ, при m = 2 + i они сравнимы, а при m = 4 + 3i ДФГ предпочтительнее ДСР. В обзоре МДД с ДСР Дрейн и Флато [47] сделали вывод, что при |m| ≤ 2 точность вычисления интегральных сечений составляет не хуже нескольких процентов, если

|y| ≤ 1. В этом случае дифференциальное сечение рассеяние вычисляются с удовлетворительной точностью: ошибки доходят до 20-30%, но только в тех углах рассеяние, где само значение сечения мало. Для шаров эти выводы верны вплоть до

|m| ≤ 3. Сравнение ИДСР и ДСР [79] не показало существенных отличий – в целом ИДСР немного точнее при вычислении Csca, но менее точнó для Cabs.

Пиллер и Мартин [80] сравнили ФСД и ЛАК, изучая зависимость средней относительной ошибки электрического поля в дальней зоне (Ψ) от y для шаров с x = π, 2π и m = 1.5. Было показано, что ФСД (с фильтром Хенинга для ε) примерно в три раза

35

Таблица 1. Точность различных вариантов МДД для шара.a

aВсе ошибки относительные, «сечения» обозначает максимум ошибки среди Cabs, Cext и Csca. S11 – максимальную ошибку по всему диапазону углов рассеяния, а Ψ определено в тексте. В некоторых случаях приведены два значения в одной ячейке (разделённые запятой) – они соответствуют двум значениям параметров в этом же ряду.

bПриближённое описание диапазона.

cЭто значение определяется другими в этом же ряду.

dЭто значение немного зависит от размерного параметра.

eЭто соответствует эмпирическому правилу Дрейна для шаров.

точнее ЛАК в интервале 0.7 ≤ y ≤ 2.5, а при y ≤ 0.4 точность сравнима (для бóльших шаров). ВД сравнивалось с традиционным методом для шаров с x = π, 2π и m = 1.32, 2.1 + 0.7i [55], используя поляризуемость ЛАК. При m = 1.32 и 0.4 ≤ y ≤ 1.3 ВД улучшила точность лишь немного в целом по интервалу, но значительно уменьшила пиковые значения ошибки для определённых значений y. При m = 2.1 + 0.7i точность ВД лучше в 4-5 раз на всём диапазоне y ≤ 1.3. Пиллер также показал [52], что комбинация ВД и ФСД приводит к ещё лучшим результатам. В целом ФСД уменьшает негативное влияние Re(ε) на точность, а ВД – влияние Im(ε).

36

Рамани и др. [84] показали, что РШБ явно превосходит KM при вычислении интегральных сечений шаров с a/d = 16, m от 1.8 + 0.4i до 7.4 + 9.4i и y ≤ 1. Авторы рассмотрели две поправки к статическому значению поляризуемости (ДСР и РИ), но они привели к похожим результатам. Улучшение итоговой точности составило 2-5 раз по сравнению с КМ. Моделирование светорассеяние тонкой пластинкой показало [82,84], что внутреннее поле, вычисленное с использованием РШБ, отличается от КМ только вблизи поверхности, где погрешности РШБ намного меньше и сравнимы с таковыми вдали от поверхности.

Коллиндж и Дрейн [83] сравнили ДСР, РШБ и ИПДСР для вычисления интегральных сечений шара с a/d = 12. Они показали, что при m = 1.33 + 0.01i ДСР и ИПДСР более точны чем РШБ (при y ≤ 0.8), а при m = 5 + 4i наиболее точны ИПДСР и РШБ. Также была исследована сходимость интегральных сечений для шаров и эллипсоидов с увеличением N при постоянном x и нескольких значениях m (от

1.33 + 0.01i до 5 + 4i). ИПДСР показало наиболее стабильные результаты – в зависимости от ситуации оно было самым точным или близким к самому точному методу – за исключением случаев эллипсоидов с большим Im(m), в которых РШБ был значительно более точным при вычислении Csca, особенно при больших y.

Различные исследователи также изучали эффективность МДД в применении к более сложным формам. Флато и др. [86] сравнили МДД моделирование светорассеяния бисферой с точным решением на основе мультипольного разложения.

При m = 1.33 + 0.01i, a/d = 16 и y ≤ 0.8 ДСР было в несколько раз более точнó чем ДФГ, приводя к ошибкам и Csca, и Cabs менее чем 0.5%. Ксу (Xu) и Густафсон (Gustafson) [87] провели аналогичный, но намного более расширенный анализ ДСР. При m = 1.6 + 0.008i, a/d = 25 и y ≤ 0.4 ошибки Cext, Cabs и <cosθ > составляют не более 10%. При y = 0.81 ошибки в угловой зависимости S11 в пределах 20%, но вычисленные значения S12 и S21 совершенно неправильны. При m = 2.5 + 0.02i ошибки интегральных сечений превосходят 10% уже при y ≥ 0.3, а ошибки в угловой зависимости элементов матрицы Мюллера составляют в пределах 10-20% при y = 0.3, но резко увеличиваются при увеличении y. При постоянных x = 3 и m = 1.6 + 0.004i ошибки Cext, Cabs и <cosθ > уменьшаются с 10% до 1% при уменьшении y от 1 до 0.2. При y = 0.33 угловая зависимость S11 находится в хорошем согласии с точным решением, а S12 и S21 сильно отличаются при некоторых ориентациях бисферы.

Хейдж и Гринберг [56] сравнили ЛАК с микроволновыми экспериментами на пористых кубах. Используя m = 1.362 + 0.005i, y = 0.64 и N = 5504, они получили

37

описывает полностью зависимость точности от m, даже в обозначенном диапазоне её применимости (|m| ≤ 2), поскольку точность МДД сильно уменьшается при увеличении m (см. таблицу 1). Тем не менее это эмпирическое правило является хорошим «нулевым» вариантом для многих приложений.

Большинство исследований точности МДД ограничены интегральными характеристиками рассеяния и, в редких случаях, угловой зависимостью S11. Другие величины рассматриваются только в нескольких работах. В частности, Сингхэм (Singham) [92] моделировал угловую зависимость элемента S34 матрицы Мюллера для шаров и менее компактных частиц, используя поляризуемость KM. Было показано, что точное вычисление этого элемента требует меньших значений y чем для S11. При x = 1.55 и m = 1.33 результаты S11 для шаров точны уже при y = 0.8, в то время как для

S34 требуется y ≤ 0.2. Также было показано, что для менее компактных объектов, таких как диски и стержни, требуемый y больше, 0.4 и 0.55 соответственно, ввиду меньшего взаимодействия между диполями. Однако Хукстра и Слот утверждали [93], что этот эффект вызван выраженной чувствительностью S34 к поверхностной шероховатости, которая особенно значительна при малых x (при постоянном y). Было показано, что при x = 10.7 и m = 1.05, высокая точность достигается уже при y = 0.66 из-за большего суммарного количества диполей.

Внутреннее поле является промежуточным результатом в МДД, и оно не может быть непосредственно сравнено с экспериментом. Но все измеряемые характеристики рассеяния выводятся из него, следовательно исследование его точности может добавить понимания природы ошибок в МДД. Хукстра и др. [88] провели такое исследование для поляризуемости ЛАК, рассматривая три шара с x = 9, 9, 5 и m = 1.05, 1.33 + 0.01i, 2.5 + 1.4i соответственно. При этом значения y составляли 0.44, 0.42 и 0.51 соответственно. Наиболее значительные ошибки в амплитуде внутреннего поля проявляются вблизи поверхности шара с максимальными относительными ошибками 3.4%, 19% и 120% соответственно. Ошибки в S12, S33 и S34 значительны только для третьего шара. Было показано, что при заданном yRe эти ошибки резко увеличиваются с m, но лишь немного зависят от x в интервале от 1 до 10. Также МДД воспроизводит резонансы теории Ми, хотя их положения слегка сдвинуты (менее 1% по m).

Другер (Druger) и Бронк (Bronk) [94] изучали точность внутренних полей для одно- и двуслойных шаров, используя x = 1.5, m ≤ 1.8 и поляризуемость KM. Ошибки внутреннего поля были локализованы вблизи границ раздела, средние ошибки составляли более 30% для шара с m = 1.8 и y = 0.17, и менее 7% для одно- и двуслойных

39