2.2.Сходимость МДД*

Вэтом разделе приведён строгий теоретический анализ сходимости МДД и доказано, что ошибка любой измеряемой величины ограничена суммой линейного и квадратичного по размеру диполя d членов, когда d в диапазоне применимости МДД. Более того, линейный член для рассеивателей кубовидной формы значительно меньше чем для остальных, поэтому при малых d погрешность МДД для кубовидных частиц существенно меньше чем для аналогичных некубовидных рассеивателей. Относительная важность линейного члена уменьшается с увеличением размера, поэтому сходимость МДД для достаточно больших частиц квадратична при типичных значениях d. Теоретические выводы были проверены обширным моделированием в большом диапазоне d. В завершение обсуждается несколько современных улучшений МДД и их последствия для сходимости.

2.2.1. Введение

Из-за чрезмерной вычислительной сложности, обычной стратегией для МДД является «единичное вычисление», для которого дискретизация выбирается на основе доступных вычислительных ресурсов и неких эмпирических оценок для ожидаемых погрешностей [48,142]. Оценки погрешностей основаны на ограниченном наборе тестовых вычислений (см. параграф 2.1.3.2) и поэтому являются внешними для конкретной задачи светорассеяния. Такие оценки погрешностей имеют очевидные недостатки, но лучшей альтернативы не существует. Существуют примеры теоретического анализа ошибок в вычислительной электродинамике, например, [178,179], однако они рассматривают поверхностные интегральные уравнения. Насколько нам известно, подобный анализ никогда не проводился для объёмного интегрального уравнения (как в МДД).

Обычно погрешности МДД изучаются в зависимости от x (при одном или нескольких значениях N), например, [45,47]. Только небольшой количество работ прямо показывают погрешности как функцию параметра дискретизации (например, d) [52,55,56,80,83,87,88,94,121]. Диапазон d в этих работах обычно ограничен пятикратной разницей между минимальным и максимальным значением за исключением двух работ [55,80] где разница 15-кратная. Графики зависимости погрешности от параметра дискретизации используются только для иллюстрации эффективности нового варианта

* Результаты данного раздела опубликованны в Yurkin M.A., Maltsev V.P., Hoekstra A.G. Convergence of the discrete dipole approximation. I. Theoretical analysis. // J. Opt. Soc. Am. A – 2006. – V.23. – P.2578-2591.

60