Таблица 9. Сравнение эффективности МДД и КРВО для шаров с разными x и m′.a

aСкобки указывают, что метод не смог достичь заданной точности при этих x и m′.

bКоличество итераций и число шагов по времени для МДД и КРВО соответственно.

2.4.3.1), что примерно в 2-3 раза быстрее чем 32 узла кластера Lemieux. Однако, множитель зависит от конкретной задачи, поэтому основные тестовые результаты это те, что получены на Lemieux, в то время как результаты быстродействия на LISA приведены для иллюстрации.

2.6.3. Результаты для шаров

Сравнение эффективности МДД и КРВО приведено в таблице 9. Главным фактором является быстродействие, описываемое (астрономическим) временем вычислений. Оно определяется двумя величинами: количеством ячеек в решётке и количеством итераций или шагов по времени. Первое зависит от x и dpl и определяет требуемую память. Нельзя прямо сравнивать значения dpl для разных методов, поскольку типичные значения для МДД (см. параграф 2.1.3.2) в два раза меньше чем для КРВО [192]. Это же верно для количества итераций даже в большей степени. Для некоторых задач один из методов не смог достичь требуемой точности при данных вычислительных ресурсах – эти результаты приведены в скобках.

Естественно, оба метода требуют больше времени для бóльших x, просто потому что количество ячеек в решётке растёт кубически с x при постоянном dpl. Однако в

132

Таблица 10. То же, что и таблица 9, но для точности.

остальном поведение методов различается: dpl, используемое МДД для достижения заданной точности, не зависит систематически от x, кроме случаев m′ = 1.7 и 2. При этом dpl зависит от m′: оно примерно одинаковое при m′ = 1.08 и 1.2, но больше и при m′ ≥ 1.4, и при m′ = 1.02. Количество итераций в МДД относительно небольшое и умеренно увеличивается с x при m′ = 1.02 и 1.08. Однако, для бóльших m′ оно резко увеличивается как с m′, так и с x. При m′ = 1.7 и 2 это сочетается с увеличивающимся dpl, что приводит к резкому увеличению времени вычисления.

Поведение dpl в КРВО изменчиво во всём рассмотренном диапазоне x и m′. Количество шагов по времени, напротив, систематически увеличивается как с x, так и с m′, что и ожидалось. Зависимость быстродействия КРВО от x и m′ менее связаны между собой чем в случае МДД. Сравнивая общую эффективность методов, видно, что для малых m′ и больших x МДД на порядок быстрее чем КРВО, а для больших m′ –

наоборот. Граничное значение m′ примерно равно 1.4, при этом методы сравнимы, так же, как и для малых значений m′ и x. Требования обоих методов к памяти в целом схожи, а различия естественным образом коррелируют с временем вычислений – в большинстве случаев более быстрый метод использует меньше памяти.

133

Рис. 31. Сравнение результатов МДД и КРВО с точным решением Ми для S11(θ ) в логарифмическом масштабе для шаров с x = 20 и m′ равным (а) 1.02, (б) 1.4 и (в) 2.

Точности вычисления нескольких характеристик рассеяния приведены в таблице

10. При m′ ≥ 1.4 ошибки и Qext, и S11 близки к заданному уровню (0.01 и 0.25

соответственно) для обоих методов. Но для меньших m′ МДД приводит к относительно малым ошибкам Qext, в то время как КРВО – S11. Другими словами, быстродействие МДД ограничивается точностью S11, а КРВО – Qext. Ошибки <cosθ > в несколько раз меньше для МДД, что коррелирует с результатами для Qext. КРВО же приводит к

134

Рис. 32. Сравнение ошибок формы и дискретизации в МДД при вычислении S11(θ ) для шара с x = 20 и m′ = 1.02. Все ошибки взяты относительно решения Ми и показаны в логарифмическом масштабе, полная ошибка есть просто сумма двух типов ошибок.

меньшим ошибкам P. Следовательно можно заключить, что МДД в целом более точен для интегральных характеристик рассеяния, а КРВО – для разрешённых по углу. Однако это лишь означает, что превосходство одного из методов над другим, в

зависимости от m′, немного сдвигается от того, какую характеристику рассеяния требуется вычислить.

Для того чтобы показать, что означает СКОО S11 равная 25%, на рис. 31

приведены результаты S11 для трёх шаров с x = 20 и тремя разными m′: 1.02, 1.4 и 2. Показано точное решение Ми и результаты МДД и КРВО – визуальное согласие очень хорошее, возможно более чем достаточно для большинства приложений.

Увеличение требуемого dpl для МДД при m′ близком к единице может показаться нелогичным. Однако это объясняется относительным характером используемого критерия точности и большим динамическим диапазоном S11(θ ) для оптически мягких шаров. Эта функция имеет глубокие минимумы, положение которых очень чувствительно к форме частицы. Например, рассмотрим шар с m′ = 1.02 и x = 20, точное решение Ми для которого приведено на рис. 31(а). В этом случае требуется dpl = 20,

чтобы МДД достиг хорошей точности, в то время как dpl = 10 (достаточное при m′ = 1.08) приводит к большим относительным ошибкам: их угловая зависимость показана на рис. 32, а СК значение равно 0.73. Используя методологию, описанную в разделе 2.3.3, мы разделили полную ошибку на ошибки формы и дискретизации, которые также приведены на рис. 32. Видно, что ошибки формы в целом доминируют – их СК значение равно 0.65, а для ошибок дискретизации – 0.11. Этот конкретный

135