2.3.Методика экстраполяции для улучшения точности МДД*
Вданном разделе описывается методика экстраполяции, позволяющая улучшить точность МДД. Её эффективность изучалась эмпирически на основе обширного численного моделирования пяти тестовых задач, используя различные дискретизации. Качество экстраполяции улучшается с дискретизацией, достигая выдающихся результатов, особенно для кубовидных частиц, – уменьшение ошибки на два порядка. Также предлагается оценка погрешности экстраполяции, достоверность которой была доказана эмпирически, а также простой метод для непосредственного разделения ошибок формы и дискретизации вместе с примером его использования.
2.3.1. Введение
Из нескольких существующих работ, показывающих погрешность МДД как функцию от d, (см. подраздел 2.2.1) только две [56,83] используют экстраполяцию (к нулевому d) чтобы оценить точное значение некой характеристики рассеяния. Однако они используют простейшую линейную экстраполяцию, при этом не приводят никакого теоретического обоснования и не обсуждают точность полученных результатов.
В разделе 2.2 проведён теоретический анализ сходимости МДД при улучшении дискретизации, являющийся основой для данного раздела, где представлена методика экстраполяции (подраздел 2.3.2) для улучшения точности МДД. Мы подробно обсуждаем свободные параметры, влияющие на эффективность экстраполяции, и приводим пошаговую инструкцию, которую можно использовать с любой существующей программой на основе МДД без каких-либо изменений. Важно заметить, что, хотя раздел 2.2 предоставляет твёрдую теоретическую базу, для понимания и применения методики экстраполяции вовсе не обязательно разбираться во всех теоретических выкладках. В подразделе 2.3.3 приведены результаты обширного численного моделирования пяти различных рассеивателей с использованием разных дискретизаций, там же предложен метод прямого разделения ошибок формы и дискретизации. Результаты и возможные применения обсуждаются в подразделе 2.3.4, а заключение приведено в подразделе 2.3.5.
* Результаты данного раздела опубликованны в Yurkin M.A., Maltsev V.P., Hoekstra A.G. Convergence of the discrete dipole approximation. II. An extrapolation technique to increase the accuracy. // J. Opt. Soc. Am. A
– 2006. – V.23. – P.2592-2601.
83
2.3.2.Экстраполяция
Вэтом подразделе описан прямолинейный способ улучшения точности МДД за счёт относительно небольшого увеличения времени вычислений. Он основан на обработке данных, полученных стандартным МДД, и поэтому легко применим в комбинации с любой существующей компьютерной программой.
Вподразделе 2.2.2 доказано, что ошибка любой характеристики рассеяния ограничена квадратичной функцией y [см. неравенства (142) и (159)]. Здесь мы предполагаем, что для достаточно малых y сама δφy может быть примерно описана квадратичной функцией y (считая логарифмические члены постоянными). Применимость этого предположения проверяется эмпирически в подразделе 2.3.3. Введение членов более высокого порядка возможно, но не необходимо (в отличие от квадратичного члена), поэтому мы этого не делаем, чтобы методика была как можно более простой и устойчивой. Запишем
(170)
где a0, a1 и a2 это коэффициенты, выбранные так, чтобы ζ y – ошибка приближения – была в некотором смысле минимальна. Тогда a0 является оценкой точного значения измеряемой характеристики φ0. Вычисление a0 по сути является подгонкой квадратичной функции по нескольким точкам {y,φy}, полученным стандартным МДД моделированием. В идеальном случае, когда ζ y = 0, можно использовать любые три значения y для вычисления φ0, однако на практике разные способы подгонки всегда дают разные результаты. Мы ограничиваемся обычной подгонкой многочлена методом наименьших квадратов, тогда остаётся ответить на три вопроса:
1)Сколько и каких значений y использовать?
2)Каков относительный вес различных точек при подгонке, т.е. каково поведение ожидаемых ошибок ζy (при подгонке минимизируется χ2, сумма квадратов отклонений делённых на ожидаемую ошибку ζy)?
3)Как оценить разницу между a0 и φ0, т.е. погрешность итогового результата? Важно заметить, что, хотя существуют определённые теоретические рассуждения, ответы на эти вопросы в основном эмпирические и должны проверяться. Наш подход основан на тестовых задачах, представленных в подразделе 2.3.3, которые не могут быть представительными для всех возможных задач светорассеяния, но показывают потенциал предложенного метода. При этом не проводилась полноценная оптимизация параметров подгонки, а только показана её применимость в целом.
84
Начнём с анализа второго вопроса, т.е. каково ожидаемое отклонение от квадратичной модели или, иными словами, какова ожидаемая зависимость ζ y от y? Для кубовидных частиц можно ожидать плавной функции φy, тогда ошибка связана с самой моделью, т.е. происходит от пренебрежения членами более высокого порядка. В этом случае следует ожидать, что ζ y будет кубической функцией от y. Мы пробовали кубические, квадратичные и линейные функции ошибок для кубовидных рассеивателей и получили, что кубическая функция в основном приводит к наилучшим результатам, хотя различия в результатах небольшие (данные не приведены).
Ожидается, что ошибки формы, существующие для некубовидных частиц, чувствительны к y, поскольку они зависят от конкретного положения поверхности частицы внутри граничных диполей, которое сильно меняется при небольшом изменении y. Поэтому можно рассматривать ошибки формы как произвольный шум,
наложенный на плавное изменение φy, при этом асимптотически ошибки формы линейны по y (см. параграф 2.2.2.3). Действительно, в некоторых случаях использование линейных ошибок ζy приводит к существенно лучшим результатам чем кубические ошибки, однако в других случаях линейные ошибки существенно хуже. Наш опыт говорит о том, что использование кубических ошибок в целом более надёжно даже при наличии ошибок формы, поскольку оно уменьшает вес бóльших значений y, где ошибка больше и менее предсказуема. Чтобы наш метод был как можно более устойчивым, не используя слишком сложные функции ошибок (например,
многочлен), мы решили использовать кубическую зависимость ошибок ζ y как для кубовидных, так и для некубовидных рассеивателей.
Выбор значений y для предварительного моделирования можно описать интервалом [ymin,ymax], количеством точек и их положением. ymin определяется доступными компьютерными ресурсами (ограничениями по времени или памяти), т.е. это лучшая дискретизация, которую можно моделировать в данных условиях. Задача экстраполяции заключается в том, чтобы улучшить точность по сравнению с возможностью одиночного моделирования. В подразделе 2.3.3 будет показано, что эффективность экстраполяции сильно зависит от ymin.
Выбор ymax определяется двумя факторами: больший интервал обычно ведёт к более точной экстраполяции, но ошибки для бóльших у более случайны и в любом случае их значимость намного меньше (так как мы используем кубическую функцию ошибок). Методом проб и ошибок мы определили, что для кубовидных рассеивателей хороший выбор ymax = 2ymin, в то время как для некубовидных частиц расширение
интервала до ymax = 4ymin улучшает результат. Вероятно это связано с тем, что качество
85
подгонки для некубовидных рассеивателей определяется квази-случайными ошибками формы, и увеличение диапазона подгонки улучшает статистическую достоверность результата. Мы также требуем, чтобы ymax было меньше 1, так как иначе МДД явно далёк от своего асимптотического поведения.
Расположение значений y отчасти зависит от задачи, особенно для кубовидных рассеивателей (для них y может принимать лишь дискретные значения). Помимо этого мы считаем, что относительные изменения y более существенны чем абсолютные, и поэтому располагаем значения y примерно равномерно в логарифмическом масштабе. Полное количество точек вычислений должно быть достаточно для статистической достоверности, но большое количество точек увеличивает время вычислений. Мы использовали 5 точек для кубовидных частиц (значения 1/y относятся как 8:7:6:5:4), а для некубовидных – 9 (значения 1/y относятся как 16:14:12:10:8:7:6:5:4) или меньше,
если ymax < 4ymin.
Погрешность итогового результата оценить трудно, так как она связана с несовершенством модели, а не со случайным шумом. Стандартная процедура подгонки методом наименьших квадратов [140] выдаёт стандартное отклонение (СО) параметра a0, из которого мы и исходим. Численное моделирование (см. подраздел 2.3.3) показывает, что для шаров (единственная рассмотренная не кубовидная форма)
реальные ошибки меньше чем 2×СО в большинстве случаев, что и следует ожидать,
если считать ζ y полностью случайной (что соответствует характеру ошибок формы).
Для кубовидных же частиц требуется использовать оценку 10×СО чтобы надёжно описать реальные ошибки. Важно отметить, что мы использовали простейший подход для построения оценки погрешности, главным недостатком которого является то, что приходится использовать большой множитель, который основан на реальных ошибках
внекоторых случаях, а в других случаях ошибки сильно переоцениваются.
Витоге сформулируем пошаговую методику экстраполяции, используя сокращения (к) и (нк) для кубовидных и некубовидных рассеивателей соответственно.
1)Выберите ymin на основе имеющихся вычислительных ресурсов.
2)Возьмите ymax равное 2-м (к) или 4-м (нк) ymin, но не больше чем 1.
3)Выберите 5 (к) или 9 (нк) точек в интервале [ymin,ymax], примерно равномерно расположенных в логарифмическом масштабе.
4)Проведите МДД моделирование для каждого значения y.
5) Подгоните квадратичную функцию [формула (170)] к точкам {y,φy}, используя y3
в качестве ошибок данных; тогда a0 будет оценкой значения φ0.
6)Умножьте СО a0 на 10 (к) или 2 (нк) чтобы оценить погрешность экстраполяции.
86