XVIII*. Операционное исчисление

81. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Изображения простейших функций.

82. Связь преобразования Лапласа с преобразованием Фурье. Теорема о свертке, теорема запаздывания, теорема о сдвиге. Интеграл Дюамеля.

83. Операционный метод решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

84. Применение операционного метода к решению уравнений с частными производными.

XIX. Теория вероятностей и математическая статистика

85. Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными исходами. Частота. Свойства частот.

Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними.

Алгебра событий. Вероятность — аддитивная функция события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.

86. Определение условной вероятности. Независимость событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона.

87. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное, показательное. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин.

88. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин; их свойства (доказательство только для дискретных величин). Ковариация, коэффициент корреляции.

89. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Уеорема Чебышева.

90. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства (теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии характеристических функций и функций распределения). Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина.

91. Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение.

92. Математическая статистика. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятия состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статической проверке гипотез.

93. Элементы корреляционного анализа. Основные свойства регрессии. Уравнения линейной регрессии. Теснота связи и ее оценка по коэффициенту корреляции. Понятие о нелинейной регрессии. Корреляционное отношение.

XX. Основные численные методы

94. Алгоритмы и их свойства. Блок-схема алгоритмов. Основные типы вычислительных процессов.

95. Приближение функции многочленом по методу наименьших квадратов.

96. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная и квадратичная интерполяция. Конечные разности и их свойства.

97. Решение линейных систем методом Гаусса—Жордана. Обращение матриц и вычисление определителей по методу Гаусса—Жордана.

98. Итерационные методы решения уравнений. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений.

99. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации. Метод Рунге—Кутта.

100. Понятие о методе сеток решения краевых задач математическом физики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1980, 1984.

2. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. — М.: Физматгиз, 1962—1963; М.: Наука, 1964—1975.

3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии.—М.: Гостехиздат, 1954—1956; М.: Физматгиз, 1958—1963; М.: Наука, 1965—1980.

4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — М.: Наука, 1970—1985, т. 1, 2.

5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред. Б. П. Демидовича.—М.- Физматгиз, 1959 — 1963; М: Наука, 1964—1978.

6. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной —М.: Наука, 1967—1979.

7. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения). — М.- Наука, 1971.

8. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — М.: Наука 1982.

9. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высшая школа 1980,4. I, II.

10. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М. Наука, 1980, 1984.

11. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1980, 1984.

12. Бугров Я. С, Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды Функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1981, 1985.

13. Бугров Я. С, Никольский С. М. Высшая математика. Задачник. — М.: Наука, 1982.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Курс высшей математики разбит на темы и пункты, в которых даны подробные указания литературы, рекомендуемой для изучения, и задач для самостоятельного решения. Номера в квадратных скобках [ ] означают пособия из приведенного выше списка литературы; например [1] обозначает учебник Д. В. Беклемишева и т. д.

В случае необходимости по некоторым вопросам даны пояснения, дополняющие материал рекомендуемых пособий.

В каждой теме приведены вопросы для самопроверки. Указано также, после изучения каких тем студент должен выполнить очередную контрольную работу.

Приступая к изучению курса высшей математики, студент должен прочитать из пособия [11], § 1.1—1.3. Там он найдет общую характеристику предмета математики, начальные сведения из теории множеств и некоторые начальные понятия о символике математической логики, используемые в дальнейшем на протяжении всего курса.

В пособии [9] имеется довольно большое число решенных задач, с которыми студенту рекомендуется познакомиться при изучении соответствующего материала.