Тема XVIII. Ряды

1. Числовые ряды

Литература. [4], гл. XVI, § 1—6, упр. 8—18; § 7, 8, упр. 21— 29; § 18, 24; [11], гл. 9, § 9.1—9.7; [5], задачи 2485—2490.

Среди достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами наиболее эффективным является интегральный признак Коши. Поэтому если другие признаки не позволяют решить вопрос о сходимости или расходимости числового ряда с положительными членами, то следует прибегнуть к интегральному признаку Коши.

Пример. Исследовать на сходимость ряд : а) с помощью признака Даламбера; б) используя интегральный признак.

Решение, а) По условию , следовательно,

т. е. признак Даламбера не позволяет сделать заключения о сходимости или расходимости ряда.

б) Члены данного ряда положительны и убывают; в качестве функции f(x), о которой идет речь в интегральном признаке (см. § 6), возьмем функцию приx≥2; эта функция непрерывна и убывает, причем . Так как

то данный ряд расходится.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2. Докажите необходимый признак сходимости ряда.

3. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме первых его n членов, сложенной с суммой ряда, полученного из данного отбрасыванием этих n членов.

4. Докажите теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

5. Докажите признак Даламбера сходимости знакопеременных рядов. Приведите пример применения этого признака.

6. Докажите признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите пример применения этого признака.

7. Докажите интегральный признак сходимости ряда Коши. Приведите примеры применения этого признака.

8. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите прн. меры абсолютно и условно сходящихся рядов.

9. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применение этого признака. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.

2. Функциональные ряды

Литература. [4], гл. XVI, § 9—12; [11], гл. 9, § 9.8—9.10; [5], задачи 2510—2520.

3. Степенные ряды

Литература. [4], гл. XVI, § 13—15, 25, упр. 30—33, 35—38; [11], гл. 9, § 9.11—9.13; [5], задачи 2530, 2534, 2535, 2539, 2564— 2567, 2576, 2579, 2580, 2582; [4], гл. XVI, § 16, 17, 19, 20, упр. 44—46, 50, 55, 64, 66, 70, 71, 74, 76, 78, 80; [4], гл. XVI, § 23.

4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям

Литература. [4], гл. XVI, § 17, 20—22, 26, 27 (замечание 2), упр. 85, 87, 89, 90, 97, 102, 103, 106, 113, 116, 117, 119, 123, 125, 127, 129—132; [11] гл.9, § 9.14.

Ряды часто используют для приближенного вычисления значений функции, интегралов и решения дифференциальных уравнений. Следует обратить внимание на замечание 3 § 7 гл. XVI пособия [4], в котором показано, как оценить погрешность, получающуюся при замене суммы знакочередующегося ряда его частичной суммой (при этом предполагается, что знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница); это замечание используется в § 17 и 21. В § 22 гл. XVI следует отметить два метода отыскания частного решения дифференциального уравнения по заданным начальным условиям в виде ряда Тейлора: последовательного дифференцирования и неопределенных коэффициентов. Сумму конечного числа членов этого ряда можно принять за приближенное решение дифференциального уравнения. Такой метод приближенного решения дифференциального уравнения может оказаться малоудобным, если трудно оценить точность вычислений или если требуется отыскивать слишком большое число членов ряда. В этом случае, а также в часто встречающихся на практике случаях, когда требуется найти числовые значения неизвестной функции, определяемой дифференциальным уравнением, только для нескольких определенных значений независимой переменной, применяют численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, некоторые из которых были рассмотрены ранее (методы Эйлера и Рунге—Кутта, тема XIII).

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

2. Дайте определение понятия равномерной сходимости последовательности функций. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

3. Сформулируйте признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости ряда.

4. Сформулируйте основные свойства равномерно сходящихся рядов.

5. Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

6. Выведите формулу для вычисления радиуса круга сходимости степенного ряда

7. Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

8. Разложите функцию y=sinx в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функции.

9. Разложите функцию у=е^x в степенной ряд и докажите с помощью остаточного члена сходимость полученного ряда к данной функции.

10. Разложите функцию у=(1+х) в степенной ряд и найдите промежуток сходимости полученного ряда.

11. Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции y=arctgx.

12. Сформулируйте теорему об интегрировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции у=ln(1+х).

13. Сформулируйте теорему о дифференцировании степенных рядов и с ее помощью получите разложение в ряд функции y=cosx.

14. Выведите формулу Эйлера e^iy=cos y+i sin у, исходя из разложения в степенной ряд функции e^iy.

15. Приведите пример оценки точности вычисления суммы знакочередующегося ряда.

16. Приведите пример применения остаточного члена формулы Тейлора (в форме Лагранжа) к оценке точности вычисления с помощью степенного ряда.

17. Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью рядов. Приведите примеры.

18. Изложите метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Приведите пример.