Тема XII. Определенный интеграл

1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла

Литература. [4], гл. XI, § 1—5, § 6 (пример можно опустить), упр 8, 10, 11, 13, 16—21, 23, 24.

2. Приближенное вычисление определенного интеграла

Литература [4], гл. XI, § 8, упр. 44, 46, 47, 50.

Приближенные методы интегрирования имеют очень большое значение. В технических приложениях часто приходится иметь дело с определенными интегралами, вычислить которые с помощью формулы Ньютона—Лейбница или искусственными приемами практически

невозможно. В этом случае значение интеграла находят приближенно. Вычислим, например, с точностью до 0,001 интеграл . Применим для этого формулу Симпсона

где n — четное число; h = (b—a)/n.

Можно показать, что погрешность этой формулы

где М₄ — наибольшее значение модуля четвертой производной интегрируемой функции на отрезке [а, b]. Последовательно дифференцируя четыре раза функцию f(x)=y=e^x2, найдем

Легко видеть, что y⁽⁴⁾>0 и |y<⁽⁴⁾|=y⁽⁴⁾. Далее очевидно, что производная y⁽⁴⁾ возрастает при 0≤х≤1 и, следовательно, принимает наибольшее значение при х=1. Итак,

При n=10 получим

Таким образом, погрешность, получающаяся при использовании формулы Симпсона (n=10) для вычисления данного интеграла, не превосходит 0,00012.

Вычислим интеграл по формуле Симпсона (при n=10):

Используя таблицу значений показательной функции (см., например: Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике— М: Наука, 1980), находим:

Окончательно получаем

Как было установлено, в результате применения приближенной формулы Симпсона погрешность не превышает 0,00012. Однако еще нельзя утверждать, что найденное значение интеграла удовлетворяет условию задачи, т. е. отличается от истинного менее чем на 0,001. Дело в том, что использованные значения у₁, у₂,..., y₁₀ не точные, а приближенные значения соответствующих величин (значение уо является точным). Каждое из этих значений взято с четырьмя десятичными знаками, т. е. отличается от соответствующего истинного значения y₁, не более чем на 0,00005. Поэтому погрешность суммы, заключенной в квадратных скобках, не превышает 0,00005+4∙50,00005+2∙4∙0,00005 = 29∙0,00005. Перед этой суммой стоит множитель 1/30, поэтому погрешность, получающаяся в результате округления чисел, включая и погрешность из-за округления результата деления числа 43,8805 на 30 (эта погрешность не превышает 0,00033), не превосходит величины

δ=(1/30) ∙29∙0,00005+0,00033<0,00038.

Таким образом, найденное значение интеграла отличается от истинного его значения не более чем на величину

δ+|R_n|<0,00038+0,00012=0,0005<0,001.

Полученный результат удовлетворяет условию задачи.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.

2. Пусть . Как это истолковать геометрически?

3. Докажите, что

4. Докажите основные свойства определенного интеграла: а) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, б) определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых; в)

5. Докажите теорему о среднем для определенного интеграла и выясните ее геометрический смысл.

6. Докажите, что является первообразной функцией для функции f(x). Выведите формулу Ньютона—Лейбница для вычисления определенного интеграла.

7. Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле. Приведите пример.

8. Выведите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Приведите пример.

9. Выведите формулу трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла. Приведите пример.

10. Выведите формулу парабол (правило Симпсона) для приближенного вычисления определенного интеграла. Приведите пример.