Тема XIX. Ряды фурье. Интеграл фурье

Литература. [4], гл. XVII, § I—7, 10 (доказательство можно опустить), 11—16, упр. 1, 4—14.

Тригонометрические ряды играют важную роль в математике как аппарат изучения функций. Это объясняется тем, что для разложения в тригонометрический ряд функция не должна удовлетворять столь жестким требованиям, которые предъявляются к ней при разложении, например, в степенной ряд (в степенные ряды разлагаются даже не все бесконечно дифференцируемые функции). Велико значение тригонометрических рядов в приложениях, где их применяют при решении ряда задач математической физики (например, колебание струны, распространение теплоты), в электротехнике, метрологии и т. д. Чаще всего тригонометрические ряды используют при изучении периодических процессов, поэтому основное внимание в учебнике [4] уделено разложению в ряд Фурье периодических функций (с периодом 2я в § 1—4, с периодом 2/ в § 5); § 6 посвящен разложению в ряд Фурье непериодической функции.

При чтении § 10 полезно сопоставить требования, предъявляемые здесь к разлагаемой функции, с требованиями, которые предъявлялись к ней ранее (см. теорему в конце § 1).

В § 11 (чтение этого параграфа не является обязательным) студент получит представление о приближенном вычислении коэффициентов Фурье и найдет литературу, в которой эти вопросы изложены подробно.

Вопросы для самопроверки

1. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

2. Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Приведите примеры функций, удовлетворяющих и не удовлетворяющих этим условиям.

3. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для четных и нечетных функций.

4. Представьте ряд Фурье в комплексной форме.

5. Что называется интегралом Фурье?

6. Дайте определение преобразования Фурье и сформулируйте его основные свойства.

После изучения тем XVIII и XIX выполните контрольную работу 10.

Тема XX. Элементы теории уравнений математической физики

Литература. [4], гл. XVIII, § 1—3, упр. 1—3, 5; [9], ч. II, гл. VI, § 3 (п. 1), задачи 931—933; [4], гл. XVIII, § 4—7, упр. 7, 8, 10; [9], ч. II, гл. VI, § 4 (п. 1), задачи 943, 944; [4], гл. XVIII, § 8—11, упр. 12—16; [9], ч. II, гл. VI, § 4, (п. 2), § 5, задачи 948, 949; [12], гл. 5, § 5, 8.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте классификацию уравнений с частными производными второго порядка. Приведите примеры.

2. Выведите уравнение колебаний струны. Сформулируйте краевую задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах.

3. Изложите метод Даламбера нахождения решения задачи Коши о колебаниях бесконечной струны.

4. Изложите метод Фурье нахождения решения краевой задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.

5. Выведите уравнение распространения теплоты в стержне. Сформулируйте краевую задачу.

6. Изложите метод Фурье для нахождения решения уравнения теплопроводности.

7. Сформулируйте краевые задачи для уравнений Лапласа. Приведите примеры решения уравнения Лапласа методом Фурье

8. Изложите метод сеток для нахождения решения краевых задач. Приведите примеры.

Тема XXI. Элементы теории функции комплексного переменного

Литература. [6], гл. I, § 3, 4; [7], гл. I, § 2, задачи 48, 52—56; § 3, задачи 69, 73, 75—77, 8!; [9], ч. II, гл. VII, § 1, задачи 937, 959, 963, 965; § 2, задачи 972, 976—978; [6], гл. I, § 5; [7], гл. I, § 4, задачи 89, 90, 92, 94, 99, 102, 108, 111; § 5, задачи 116—123, 126, 129, 132; [9], ч. II, гл. VII, § 4, задачи 996—1000; [6], гл. 4, § 1, 2; [7], гл. 1, § 6, задачи 158, 163, 166, 198, 201, 203, 205, 208, 209, 212, 216; § 7, задача 221, 223, 228, 236, 237—241, 242, 249; [9], ч. II, гл. VII, § 5, задачи 1010-1017; [6], гл. 5, § 1, 2, п. 1, 2; [7], гл. I, § 8, задачи 270, 27G, 277, 282, 283, 285, 289, 292, 293, 297, 303, 305, 310; [9], ч. II, гл. VII, § 6, задачи 1027—1034.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определения производной н дифференциала функции комплексного переменного.

2. Какая функция называется аналитической? Выведите необходимые и достаточные условия для аналитичности функции.

3. Дайте определение гармонической функции. Какие функции являются сопряженными гармотиескими функциями? Приведите пример.

4. Каков геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного?

5. Дайте определение интеграла от функции комплексного переменного и сформулируйте основные его свойства.

6. Сформулируйте основную теорему Коши и приведите примеры ее приложения.

7. Дайте определение ряда Лорана. Что является областью сходимости ряда Лорана? Каковы условия разложимости функции в ряд Лорана?

8. Дайте классификацию изолированных особых точек аналитической функции. Приведите примеры.

9. Дайте определение вычета функции относительно изолированной особой точки. Приведите примеры вычисления вычетов функции.

10. Сформулируйте теорему Коши о вычетах. Приведите примеры приложения теории вычетов.