2. Случайные величины

Литература. [8], гл. 5, § 1—6, задачи 2, 4, 6, 7, 9, 11, 16, 17, 20; гл. 6, § 1—5, задачи 8, 10—12, 16—18, 22; [4], гл. XX, § 7, 9—17, упр. 14—26, 30—33; [9], ч. II, гл. V, § 5, 6, 8—10, 14, задачи 826, 827, 830, 838, 852, 878; [8], гл. 7, § 1—6, задачи 1, 5—8, 11, 13, 14—16; [9], ч. II, гл. V, § 12, 13, задачи 864-866, 869, 870.

Особое внимание обратите на теоремы, которые позволяют найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал '([8], гл. 5, § 2, 3; [4], гл. XX, § 12, 13).

Пример 3. Случайная величина X задана функцией распределения.

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (1/4, 1).

Решение. Искомая вероятность равна приращению функции распределения на заданном интервале:

P(l/4<X< l) = F(l)-F(l/4).

Так как на интервале (1/4, 1), по условию, F(x)=x/2, то F(l)—F(l/4) = 1/2—1/8 = 3/8. Итак, Р(1/4<X<1)=3/8.

Пример 4. Случайная величина X задана функцией распределения, приведенной в задаче 3. Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей; б) используя плотность распределения вероятностей, найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (1/4, 1).

Решение. а) Найдем плотность распределения вероятностей Р_х(х), для чего продифференцируем по х интегральную функцию F(x);

б) Искомая вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (1/4, 1), равна определенному интегралу в пределах от 1/4 до 1 от плотности распределения вероятностей:

Рекомендуется самостоятельно построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей. Заметим, что в [4] плотность распределения вероятностей Р_х(х) обозначается через f(x).

Понятия математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения принадлежит к числу наиболее важных, поэтому решению задач на усвоение этих понятий необходимо уделить особое внимание.

Пример 5. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной следующим законом распределения:

x	1	2
p	0,2	0,8

Решение. Найдем искомое математическое ожидание:

M(X)=x₁p₁+x₂p₂=1∙0,2+2∙0,8=1,8

Запишем закон распределения X²i

x2	12	22
p	0,2	0,8

Найдем математическое ожидание Х²:

M(X²)=x²₁p₁+x²₂p₂=1∙0,2+4∙0,8=3,4.

Найдем искомую дисперсию: D(X) = М (X²) — [М(X)]² = 3,4 — (1,8)² = 3,4 — 3,24 = 0,16.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

Пример 6. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х₁ и х₂ причем x₁<x₂. Найти закон распределения величины X, если известно, что М(Х)=1,4, D(X)=0,24 и вероятность p₁ того, что X примет значение x₁, равна 0,6.

Решение. Сумма вероятностей всех возможных значений X равна единице, поэтому вероятность р₂ того, что X примет значение x₂, равна 1—0,6=0,4.

Запишем закон распределения X:

X	x1	x2
p	0,6	0,4

Для отыскания x1 и x2 составим два уравнения. Учитывая, что, по условию, М(Х)=1,4 запишем первое из уравнений:

0,6x₁+0,4x₂=1,4.

Принимая во внимание, что, по условию, D(X)=0,24, и используя формулу

D(X)=M(X²)-[M(X)]²,

напишем второе уравнение:

0,24 = 0,6x²₁ + 0,4x²₂— (1,4)², или 0,6x²₁+0,4x²₂=2,2.

Решив систему уравнений, найдем два решения: x₁=1, x₂=2 и x₁=1,8, x₂=0,8. По условию, x₁<х₂, поэтому задаче удовлетворяет только первое решение. Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

X	1	1
p	0,6	0,4

При решении задач на отыскание дисперсии непрерывной случайной величины часто вместо формулы

выгодно использовать равносильную формулу

(Аналогичное замечание относится и к случаю, когда пределы интегрирования бесконечны.) Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно (в порядке упражнения). Для того чтобы из первой формулы получить вторую, надо возвести в квадрат разность, стоящую под знаком интеграла, и разбить полученный интеграл на три интеграла; затем следует вынести за знак интеграла постоянные величины (математическое ожидание есть постоянная величина) и принять во внимание, чтопо определению математического ожидания непрерывной случайной величины;([8], гл. 5, §3; [4], гл.XX, § 12).

При решении задач полезно иметь в виду, что если кривая распределения (график функции Р_х(х) симметрична относительно прямой x=с, то математическое ожидание равно с.

Пример 7. Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятности Р_х(х)=(1/2)sinx в интервале (0, π); вне этого интервала Р_х(х)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию X.

Решение. Заданная кривая распределения симметрична относительно прямой х=π/2, поэтому М(Х)— π/2. Дисперсию найдем по формуле

Подставив в нее М(Х)= π/2, а=0, b=π, Р_х(х)=(1/2)sinx, получим

Дважды интегрируя по частям, найдем

Учитывая этот результат, получаем искомую дисперсию D(X)=(π²-8)/4.

Весь материал, относящийся к нормальному распределению ([8], гл. 5, § 2, 3, гл. 6, § 2, 3; [4], гл. XX, § 15—17), должен быть изучен основательно, так как на практике нормально распределенные случайные величины встречаются очень часто.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение случайной величины. Приведите примеры.

2. Дайте определение функции распределения случайной величины и докажите ее свойства.

3. Дайте определение плотности распределения вероятностей и докажите ее свойства.

4. Дайте описания дискретных и непрерывных распределений: биномиального, пуассоновского, геометрического, гипергеометрического, нормального, показательного, равномерного.

5. Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если она распределена по нормальному или показательному закону?

6. Дайте определение многомерной функции распределения случайного вектора и рассмотрите совместные распределения двух случайных величин.

7. Как найти вероятность попадания пары случайных величин в заданный прямоугольник?

8. Сформулируйте теоремы о независимых случайных величинах. Что представляет собой распределение суммы независимых случайных величин?

9. Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства.

10. Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства.

11. Дайте определение среднего квадратического отклонения случайной величины и укажите его преимущества по сравнению с дисперсией.

12. Что такое ковариация двух случайных величин? Что называется коэффициентом корреляции и каковы его свойства?

13. Докажите неравенство Чебышева. Сформулируйте теорему Чебышева.

14. Что называется характеристическими функциями случайной величины? Сформулируйте их свойства.

15. Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова.