5. Произведение матриц

Литература. [1], гл. V, § 6; [4], т. 2, гл. XXI, § 4, 6—9, упр. 3—10; [9], ч. I, гл. IV, § 2, задачи 39G, 402, 406, 407:

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства? Приведите примеры.

2. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей?

3. Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите примеры.

4. Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры.

5. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений? Приведите примеры.

6. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие — несовместными?

7. Сформулируйте теорему Кронекера—Капелли.

8. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

9. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

10. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?

11. При каком условии однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевое решение?

12. Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений.

13. Какие разновидности метода Гаусса вы знаете?

14. Что называется рангом системы линейных уравнений? Как, используя метод Гаусса, можно найти ранг системы линейных уравнений?

15. Какие неизвестные в системе линейных уравнений и в каком случае называют свободными, а какие базисными? Что называется общим решением системы линейных уравнений?

16. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?

17. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?

18. Какая матрица называется единичной?

19. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу?

20. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?

6. Арифметическое пространство

Понятие числа является основным понятием математики. Множество действительных¹ чисел R начинают изучать еще в средней школе. Там же рассматривают различные числовые множества (подмножества R): множество натуральных чисел (N), целых чисел (Z), рациональных чисел (Q) и т. п. В современной математике изучают и такие числовые множества, каждый элемент которых, в свою очередь, — совокупность нескольких действительных чисел. Так, благодаря методу координат в аналитической геометрии вместо точек или векторов геометрического пространства рассматривают тройки чисел (аналогично на плоскости — пары чисел)—координат точек (векторов) ; линейное уравнение с п переменными x₁, х₂, ..., х_n

а₁х₁ + а₂х₂ + …+а_nх_n=b

полностью определяется совокупностью его коэффициентов и правой частью (a₁; а₂,...; а_n; b); каждое решение такого уравнения (α₁, α₂;...; α_n) - также совокупность чисел; план и результат работы любого предприятия характеризуются определенными числовыми показателями, т. е. опять-таки совокупностью чисел, и т. п. При этом для задания такой совокупности надо знать не только образующие ее числа, но и какое место занимает в ней каждое число; например совокупности (2; 3) и (3; 2) надо считать различными. В этом смысле говорят, что совокупности чисел, которые мы будем рассматривать, упорядочены.

Как уже отмечалось, в аналитической геометрии упорядоченные тройки чисел имеют двоякий смысл: либо это координаты точки, либо координаты вектора. Здесь упорядоченные тройки чисел — самостоятельный объект изучения. При этом сохраняется прежняя терминология — будем применять для них два термина: точка (х₁; x₂; x₃) и вектор (х₁; x₂; x₃). Обобщая, будем называть упорядоченную совокупность и чисел (х₁; x₂;...; х_n) точкой или вектором (иногда n-мерной точкой или n-мерным вектором). Множество всех n-мерных точек (n-мерных векторов) будем называть n-мерным арифметическим пространством, а число п — размерностью этого пространства.

Арифметическое n-мерное пространство обозначают Rⁿ. Очевидно, R¹ — множество действительных чисел; в этом случае индекс опускают и пишут просто R. Одномерное пространство R называют также числовой прямой, двумерное пространство R² — числовой плоскостью, а n-мерное пространство Rⁿ (n≥3) — числовым пространством. Перенос геометрической терминологии из теории наглядного геометрического пространства на R, R², R³ естествен в силу метода координат. При n>3 такая геометрическая наглядность уже теряет смысл, однако сохранение геометрической терминологии и для R" нельзя считать только условностью. Многие факты, относящиеся к Rⁿ, носят общий характер, не зависящий от n. Так, свойства решений системы линейных уравнений и методы их исследования не зависят от числа переменных. Можно сказать, что арифметическое пространство Rⁿ любой размерности обладает свойствами, в некотором смысле подобными «геометрическим» свойствам R, R², R³.

Выше отмечалась равноправность терминов «точка» и «вектор» применительно к элементам Rⁿ. Уточним теперь эту терминологию. Существенным при построении векторной алгебры в наглядном геометрическом пространстве, где векторами являются направленные отрезки, было определение линейных операций над векторами (сложение векторов и умножение вектора на число). Естественно перенести эти операции и на элементы R³, что фактически и было сделано в векторной алгебре (выражение линейных операций над векторами, заданными своими координатами). Теперь, рассматривая R³ как самостоятельный объект изучения, естественно принять правила сложения векторов и умножения вектора на число, выраженные в координатах, за определение соответствующих линейных операций уже над элементами R³. Эти определения обобщаются и на Rⁿ при любом и.

Далее (см. п. 7) рассмотрено более широкое понятие вектора в современной математике и показано, что это понятие связано с линейными операциями и их свойствами. Поэтому естественно в тех задачах, в которых встречаются элементы Rⁿ в связи с линейными операциями над ними, называть их «векторами», а Rⁿ рассматривать как «векторное пространство». Но во многих задачах, относящихся к Rⁿ, линейные операции над его элементами либо вообще не принимаются во внимание, либо отступают на задний план, а в центре внимания оказываются факты геометрического характера, относящиеся к свойствам и взаимному расположению подмножеств («фигур») Rⁿ. В этих случаях более естественно называть элементы пространства Rⁿ «точками» и рассматривать его как «точечное пространство». С векторной точки зрения пространство Rⁿ будет рассмотрено позже: до конца этого пункта Rⁿ рассматривается как точечное пространство.

Точки Rⁿ будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: М(х₁; х₂;...;х_n), Х(х₁; х₂; ...;.x_n), A(a₁; а₂;...; а_n) и т.д. Сами числа, образующие в совокупности точку, будем называть координатами этой точки. Точку, все координаты которой равны нулю, т. е. О(0; 0; ... 0), будем называть началом координат.

Множества точек в Rⁿ («фигуры») будем задавать с помощью уравнений, неравенств с n переменными и их систем как области их решений.

Область решений совместной системы линейных уравнений с п переменными ранга г называется k-мерной плоскостью в Rⁿ где k = n—r (k — число свободных, а г — базисных переменных).

Отметим два особых случая.

1. r=n, k=0. Система имеет единственное решение, которое представляет собой точку в Rⁿ, т. е. точку можно считать 0-мерной плоскостью.

2. r=0, k=n. Все уравнения системы являются тождествами (0 = 0), все переменные — свободные, область решений системы совпадает со всем пространством Rⁿ, т. е. само пространство можно считать n-мерной плоскостью.

Если эти два особых случая исключить из рассмотрения, то, очевидно, k может изменяться в пределах 1≤k≤n—1. Плоскость наибольшей возможной в Rⁿ размерности, но не совпадающую со всем пространством, т. е. (n—1)-мерную плоскость, называют гиперплоскостью, а плоскость наименьшей возможной размерности, но не являющуюся точкой, т. е. одномерную плоскость, — прямой.

Пространство R одномерно, и в нем не может быть плоскостей меньших размерностей; в пространстве R² (числовая плоскость) гиперплоскость совпадает с прямой — это одномерная плоскость; в пространстве R³ гиперплоскостью является двумерная плоскость, а прямой — одномерная плоскость, других плоскостей нет; при n>3 кроме гиперплоскости и прямой существуют плоскости промежуточных размерностей [(n—2)-мерные,..., трехмерные, двумерные].

Гиперплоскость обычно задают одним линейным уравнением

a₁x_l - а₂х₂+.. .+ а_nх_n = b, (8)

в котором не все коэффициенты a₁, а₂,..., а_n равны нулю (a¹₂+a²₂+...+a²_n≠0); последнее условие равносильно тому, что ранг система, состоящей из одного уравнения (8), равен единице.

Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений

Если ее матрица А имеет ранг, равный 1, то

a₂₁/a₁₁=a₂₂/a₁₂=…=a_2n/a_1n. (10)

В этом случае гиперплоскости, определяемые уравнениями системы (9), называются параллельными. Если при этом ранг расширенной матрицы В системы (9) равен 2, т. е.

a₂₁/a₁₁=a₂₂/a₁₂=…=a_2n/a_1n≠b₂/b₁. (11)

то система несовместна — гиперплоскости, определяемые уравнениями системы (9), не имеют общих точек (не пересекаются); если же ранг расширенной матрицы также равен 1, т. е.

a₂₁/a₁₁=a₂₂/a₁₂=…=a_2n/a_1n≠b₂/b₁. (12)

то ранг системы (9) равен 1, система сводится к одному уравнению — две гиперплоскости совпадают.

Наконец, если ранг матрицы А системы (9) равен 2, то система уравнений (9) определяет (n—2)-мерную плоскость.

Прямую можно задать совместной системой линейных уравнений с n переменными ранга r=n—1. Если известны две точки U(u₁;u₂;…;u_n) и V(v₁; v₂;…; v_n) прямой, то эту систему можно записать в виде

где X(x₁; х₂;…;х₂) - текущая (переменная) точка прямой. Систему уравнений (13) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки U и V (ср. [1], гл. II, § 3, п. 1).

Полагая (x_i—u_i)/(v_i—u_i)=t (i=l, 2,..., n), систему (13) можно записать в виде

Уравнения (14) являются параметрическими уравнениями прямой; параметром является переменная величина t (о параметрических уравнениях линий на плоскости и в пространстве см [1], гл. II, § 1, п. 3). При изменении t от -∞ до +∞ уравнения (14) определяют различные точки X прямой UV. При t = 0 точка X совпадает с точкой U, а при t=1-с точкой V. Если же 0<t<1, то значения x, заключены между соответствующими значениями u₁ и v₁; в этом случае говорят, что точка X заключена между точками U и V. Множество точек, включающее точки U, V и все точки, лежащие на прямой между ними, называется отрезком прямой, точки U а V— концами, а точки, заключенные между ними, — внутренними точками отрезка. Отрезок с концами U и V обозначают UV.

Отрезок UV определяется уравнениями (14) при дополнительном условии

множество внутренних точек отрезка UV определяется уравнениями (14) при дополнительном условии

Если t<0 или t>1, то точка X, определяемая уравнениями (14), лежит на прямой UV вне отрезка UV, причем если t<0, то точка U лежит между точками X и V, а если t>l, то точка V лежит между U и X.

Замечание. При изучении аналитической геометрии для координат внутренней точки М отрезка АВ были получены формулы

где A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂); λ∕μ=|AM|/|MB| (см. [1], гл. I, § 2, п. 2).

Полагая λ∕(λ+μ)=t, получим х=(1—t)x₁+tx₂, у=(1-t)y₁+ty₂, z=(1— t)z₁+tz₂ — частный случай формул (14) при n=3 и соответствующих обозначениях (М≡Х, A≡U, B≡V); при этом t=|AM|/|MB| и для внутренних точек отрезка АВ выполняется условие (16).

Рассмотрим множества точек, определяемых неравенствами

Гиперплоскость

принадлежит, очевидно, обоим этим множествам. Возьмем в одном из них точку U, а в другом V, не принадлежащие гиперплоскости (8). Можно показать, что среди внутренних точек отрезка UV найдется точка, принадлежащая гиперплоскости (8), т. е. отрезок UV пересекает гиперплоскость (8). В этом смысле будем говорить, что множества, определяемые неравенствами (17) и (18), лежат по разные стороны от гиперплоскости (8). Они называются полупространствами. Гиперплоскость (8), принадлежащая обоим полупространствам, является их общей границей.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется n-мерным арифметическим пространством?

2. Что называется r-мерной плоскостью в n-мерном арифметическом пространстве?

3. Что называется гиперплоскостью и прямой в n-мерном арифметическом пространстве?

4. Как записываются уравнения гиперплоскости и прямой в n-мерном арифметическом пространстве?

5. В каком случае две гиперплоскости называются параллельными? Каковы условия параллельности и совпадения гиперплоскостей?

6. Как определяется отрезок в n-мерном арифметическом пространстве?

7. Как определяются полупространства n-мерного арифметического пространства?