Тема XIV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнении. Элементы теории устойчивости

1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Литература. [4], гл. XIII, § 29, упр. 180; [5], гл. IX, § 15, задачи 3078, 3080, 3087.

2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Литература. [4], гл. XIII, § 30, упр. 185, 186, 188; гл. XXI, § 17, упр. 14.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка? Сформулируйте задачу Коши для этой системы.

2. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка сведением системы к одному дифференциальному уравнению (метод исключения). Приведите пример.

3. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения. Приведите пример.

4. Запишите в матричной форме нормальную систему и решение нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приведите пример решения матричным способом такой системы.

3. Элементы теории устойчивости

Литература. [4], гл. XIII, § 31, упр. 191—193; [7], гл. III, § 19, 20.

Вопросы для самопроверки

1. Какое решение нормальной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка называется устойчивым по Ляпунову?

2. Рассмотрите случаи устойчивости и неустойчивости решения (0; 0) нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в зависимости от характера корней характеристического уравнения.

На основании рассмотренных случаев сформулируйте общее условие устойчивости решения системы.

3. Используя понятие функции Ляпунова, сформулируйте теорему об устойчивости решения х_i=0, i=1,…, n нелинейной автономной системы dx_t/dt=f_i(x₁,…, x_n), (i=1,…, n).

После изучения тем XIII и XIV выполните контрольную работу 8.

Тема XV. Кратные интегралы

1. Двойной интеграл

Литература. [4], гл. XIV, § 1,2, упр. 1,4—6; § 3, упр. 8—10, 14, 15, 17; § 4, упр. 24, 25, 32; § 5, 6, упр. 18—20, 28; § 7, упр. 43, 46, 48; § 8, упр. 51; § 9, упр. 59, 60; § 10, упр. 53, 54; [5], задачи 2122, 2123, 2142, 2197—2199.

Можно использовать также [9], ч. II, гл. I, § 1—6.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется двойным интегралом от функции }{х, у) по области D} Укажите его геометрический смысл.

2. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла. Докажите, что, гдеD=D₁+D₂.

3. Что называется двукратным интегралом от функции f(x, у) по области D? Как он вычисляется?

4. Докажите теорему о среднем для двойного интеграла, укажите ее геометрический смысл.

5. Выведите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью двукратного. Дайте геометрическое толкование формулы в случае неотрицательной подынтегральной функции.

6. Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.

7. Выведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

8. Каков геометрический смысл интеграла

где z=z(x, у) —функция, обладающая непрерывными частными производными в области D?

9. Каков механический смысл интеграла

где γ(х, y)≥0— непрерывная функция в области D?

10. Выведите формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры D, поверхностная плотность которой γ=γ(х, у).