- •II. Введение в математический анализ
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Векторные и комплексные функции действительного переменного
- •VI. Неопределенный интеграл
- •VII. Определенный интеграл
- •VIII. Функции нескольких переменных
- •IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •X. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •XVIII. Кратные интегралы
- •XIX. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •XX. Векторный анализ
- •XXI. Элементы теории уравнений математической физики
- •XXII. Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление
- •XXIII. Основные численные методы
- •XXIV. Теория вероятностей и элементы математической статистики
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Векторные и комплексные функции действительного переменного
- •VI. Неопределенный интеграл
- •VII. Определенный интеграл
- •VIII. Функции нескольких переменных
- •IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •X*. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •XI. Числовые ряды
- •XVII. Основные уравнения математической физики
- •XVIII*. Операционное исчисление
- •XIX. Теория вероятностей и математическая статистика
- •XX. Основные численные методы
- •Тема I. Векторная алгебра
- •Тема II. Поверхности и линии
- •Тема III. Элементы линейной алгебры
- •1. Матрицы и линейные операции над ними
- •2. Определители
- •3. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
- •4. Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли. Метод Гаусса
- •5. Произведение матриц
- •6. Арифметическое пространство
- •7. Линейные пространства
- •8. Евклидовы пространства
- •9. Линейные преобразования (операторы)
- •10. Квадратичные формы
- •11. Комплексные числа
- •Тема IV. Введение в математический анализ
- •1. Число. Переменная. Функция
- •2. Предел и непрерывность функций
- •Тема V. Производная и дифференциал
- •1. Производная
- •2. Дифференциал
- •3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4. Свойства дифференцируемых функций
- •5. Формула Тейлора
- •Тема VI. Возрастание и убывание функции. Экстремумы
- •1. Возрастание и убывание функций
- •2. Экстремумы
- •Тема VII. Построение графиков функции
- •1. Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба
- •2. Асимптоты
- •3. Общая схема построения графиков функций
- •Тема VIII. Векторные и комплексные функции
- •1. Векторная функция скалярного аргумента
- •2. Кривизна кривой. Формулы Френе
- •3. Комплексные функции. Многочлен в комплексной области
- •Тема IX. Приближенное решение уравнении. Интерполяция
- •1. Приближенное решение уравнений
- •2. Интерполяция
- •Тема X. Функции нескольких переменных
- •7. Метод наименьших квадратов. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений
- •Тема XI. Неопределенный интеграл
- •Тема XII. Определенный интеграл
- •1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла
- •2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •3. Несобственные интегралы
- •4. Интегралы, зависящие от параметра.
- •5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Тема XIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •3. Линейные дифференциальные уравнения
- •Тема XIV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнении. Элементы теории устойчивости
- •1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •3. Элементы теории устойчивости
- •Тема XV. Кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •2. Тройной интеграл
- •Тема XVI. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •1. Криволинейные интегралы; их определение, свойства и приложения
- •2. Формула Грина.
- •3. Поверхностные интегралы
- •Тема XVII. Векторный анализ
- •1. Скалярное и векторное поле. Градиент скалярного поля. Циркуляция, поток, дивергенция и ротор векторного поля
- •2. Формула Стокса
- •3. Формула Остроградского
- •4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
- •5. Операторы Гамильтона и Лапласа
- •Тема XVIII. Ряды
- •1. Числовые ряды
- •2. Функциональные ряды
- •3. Степенные ряды
- •4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям
- •Тема XIX. Ряды фурье. Интеграл фурье
- •Тема XX. Элементы теории уравнений математической физики
- •Тема XXI. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Тема XXII. Операционное исчисление
- •Тема XXIII. Теория вероятностей
- •1. Случайные события
- •2. Случайные величины
- •3. Цепи Маркова
- •Тема XXIV. Элементы математической статистики
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •2. Элементы линейной алгебры
- •3. Введение в математический анализ
- •4. Производная и её приложения
- •5. Приложения дифференциального исчисления
- •6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •7. Неопределенный и определенный интегралы
- •8. Дифференциальные уравнения
- •9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
- •10. Ряды
- •11. Уравнения математической физики.
- •12. Теория вероятности и математическая статистика.
5. Формула Тейлора
Литература. [4], гл. IV, § 6, 7, упр. 54, 56, 57, 59, 62, 65, 67.
Можно использовать также [5], гл. II, § 8; [9], ч. I, гл. VII, § 2, п. 1.
Формула Тейлора
очень важна как в теории, так и в практических приложениях. В частности, с ее помощью можно вычислить приближенные значения функции f(x), если известны значения этой функции и ее производных до n-го порядка в «начальной» точке х=а и если, кроме того, удается оценить остаточный член Rn. Если
то
с погрешностью α0.
Для оценки погрешности формулы (3) важна форма записи остаточного члена Rn. Распространенной является запись остаточного члена в форме Лагранжа:
В этом случае оценка остаточного члена зависит от оценки (n+1)-й производной функции f(x). Так, например, если известно, что на отрезке, которому принадлежит рассматриваемое значение х1
то
и, следовательно, в качестве (Хо можно взять любую величину, удовлетворяющую условию
Условие (2) можно использовать и для определения числа n, если погрешность α0 задана заранее. Однако надо иметь в виду, что условие (2) определяет погрешность формулы (3). Если же приближенное значение f(x) вычислять по формуле (3) при конкретном числовом значении х, то может оказаться, что слагаемые в этой формуле (по крайней мере, некоторые из них) сами вычисляются приближенно. Тогда погрешность результата вычислений представляет собой сумму погрешностей слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой погрешностью α0, которая является и погрешностью формулы, то общая погрешность значения, вычисленного по формуле (3), очевидно, равна β=(n+2)α0. Если заранее задана точность результата α, то следует подобрать α0 так, чтобы обеспечить выполнение неравенства β≤α или (n+2) α0< α, откуда
При достаточно малом числе членов (по крайней мере, при n≤8) условие (7) заведомо выполняется, если положить
Обычно точность вычислений задается в виде α=10-m. Условие (8) показывает, что α0=10-(m+1). Это значит, что вычисления надо производить с одним запасным знаком. Условие (2), которое можно использовать для определения числа n, в этом случае принимает вид
Замечание. Мы установили, что один запасной знак обеспечивает требуемую точность, по крайней мере, при n≤8. Легко заметить, что два запасных знака обеспечивают требуемую точность, по крайней мере, при n≤98. Но практически это верно и при значительно большем числе членов, так как значения функции и ее производных в точках х=а обычно бывают известны с абсолютной точностью. Поэтому два первых члена в формуле (3) абсолютно точны, следовательно, при одном запасном знаке требуемая точность обеспечивается более чем при десяти членах, при двух запасных знаках — более чем при ста членах и т. д.
Пример 1. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, вычислить е0,1 и е0,2 с точностью до 0,001.
Решение. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f(x)=еx имеет вид
где 0 <θ< 1 (см. [4], гл. IV, § 7, п. 1). Отсюда получаем
Значения x1=0,1 и х2=0,2 принадлежат отрезку [0; 0,5], следовательно, 0<θx<0,5 и еθx<е0,5<2;
При заданной погрешности а условие (9) заведомо выполняется, если положим, что откуда
Запись условия, определяющего п, в виде (11) удобна, так как, вычисляя последовательно слагаемые в (10) по формулам
мы имеем возможность одновременно видеть, достигнута ли требуемая точность, т. е. выполнено ли условие (9).
Полагая а = 0,001, из (11) получаем условие
и при л:=0,1 имеем
Итак, е0,1≈1,105. Здесь условие (13) оказалось выполненным при k=n+1=4, т. е. при n=3. Всего сохранено четыре слагаемых. Следовательно, одного запасного знака было достаточно. Аналогично можно найти е0,2≈1,221 (здесь требуемая точность достигается при n=4).
Приближение функции многочленом по формуле Тейлора с геометрической точки зрения означает замену графика функции графиком соответствующего многочлена (см. [4], гл. IV, § 7, п. 2).
Вопросы для самопроверки
1. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Когда эту формулу называют формулой Маклорена и какой вид принимает она в этом случае?
2. Напишите формулы Маклорена для функций еx, sinx, cosx, ln(1+x).
3. Как используется формула Тейлора для вычисления приближенных значений функции с заданной точностью? Приведите примеры.