8. Евклидовы пространства

Литература. [1], гл. VII, § 1 (пример 3 опустить); [10], §6, 17; [9],ч. I, гл. V, §5.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется линейное (векторное) пространство? Приведите примеры

2. Сформулируйте определения линейной зависимости и независимости векторов.

3. Что называется размерностью линейного пространства? Приведите примеры.

4. Что называется базисом линейного пространства? Приведите примеры.

5. Что называется векторной формой записи системы линейных уравнений?

6. Что называется подпространством линейного пространства? Приведите примеры.

7. Что называется евклидовым пространством?

8. Как определяется скалярное произведение векторов в линейном пространстве и, в частности, в пространстве Rⁿ?

9. Как определяются модуль вектора и угол между векторами в линейном пространстве?

10. Напишите неравенство Коши—Буняковского в общем виде и, в частности, для пространства Rⁿ.

9. Линейные преобразования (операторы)

Литература. [2], гл. III, § 12—22; [1], гл. VI, § 3, 4; [10], § 15—21; [9], ч. I, гл. IV, § 2; гл. V, § 4.

Если задано правило, по которому каждому вектору x линейного пространства поставлен в соответствие вектор у того же пространства, то говорят, что задано преобразование этого пространства. Преобразования называют также операторами.

Линейное преобразование полностью характеризуется его матрицей. Поэтому действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Например, если вектор x переводится в вектор у линейным преобразованием с матрицей А, а вектор у переводится в вектор z линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному же преобразованию, переводящему вектор х в вектор z (оно называется произведением составляющих преобразований). Матрица этого линейного преобразования С=ВА.

Пример 6. Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее z₁, z₂, z₃ через x₁, х₂, х₃.

Решение. Первое преобразование определяется матрицей А, а второе — матрицей В, где

Искомое преобразование является произведением данных преобразований с матрицей

Перемножив матрицы В и A, получим матрицу

Следовательно, искомое преобразование таково:

При отыскании собственных векторов линейного преобразования следует иметь в виду, что они определяются с точностью до произвольного множителя, т. е. если некоторый вектор u - собственный, то и вектор αu (α≠0) - собственный. Таким образом, фактически определяется собственное направление или собственная прямая, остающаяся неизменной при данном линейном преобразовании.

Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы А:

Корни этого уравнения λ₁=5 и λ₂=20 и являются собственными значениями линейного преобразования.

Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений

Полагая λ=λ₁=5, получаем систему уравнений для первого собственного вектора u(u₁; u₂):

Применяя метод Гаусса, найдем ее общее решение: u₂=-2u₁ (ранг системы r=1, u₁ — свободная, u₂ —базисная переменная). Следовательно, первым собственным вектором, определяющим первое собственное направление, является u (u₁; u₂) = (u_l; —2u₁)=u₁(l; -2).

Меняя u₁, будем получать различные векторы, лежащие на одной прямой (коллинеарные). Все они - собственные.

Полагая λ=λ₂=20, получаем систему уравнения для отыскания координат второго собственного вектора v(v₁; v₂);

Снова ранг системы r=l, а общее решение v₁=2v₂ (v₂ — свободная, v₁ — базисная переменная). Второй собственный вектор v(v₁; v₂) = (2v₂; v₂)=v₂(2; 1) определяет второе собственное направление.

Вид матрицы линейного преобразования зависит от выбора базиса. Если за базис принять совокупность собственных векторов, то матрица линейного преобразования принимает диагональный вид, где на главной ее диагонали стоят собственные значения. Например, в двумерном пространстве это матрица . Линейное преобразование в таком базисе имеет видy₁=λ₁x₁, y₂=λ₂x₂.