2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Литература. [4], гл. XIII, § 16, упр. 117; § 17, упр. 118, 119; § 18, упр. 120—124; [5], задачи 2915, 2925, 2957, 2967.

3. Линейные дифференциальные уравнения

Литература. [4], гл. XIII, § 20, 21, упр. 129—137; [5], задачи 2987, 2990; [4], гл. XIII, § 22, упр. 140—146; § 23—25, упр. 149—158, 167—169.

Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений можно найти в пособии: Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высшая школа, 1978, (гл. II, § 17).

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.

2. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида уⁿ=f(х). Приведите пример.

3. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида y"=f(х, y'). Приведите пример.

4. Изложите метод решения дифференциального уравнения вида y"=f(y, y'). Приведите пример.

5. Дайте определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка (однородного и неоднородного). Докажите основные свойства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.

6. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций и приведите примеры. Докажите, что для линейно зависимых функций определитель Вронского равен нулю. Сформулируйте обратную теорему для линейно независимых решений (интегралов) однородного линейного дифференциального уравнения.

7. Докажите теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

8. Изложите метод нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если известно одно его частное решение. Приведите пример.

9. Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

10. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения. Приведите пример.

11. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения Приведите пример.

12. Докажите теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

13. Докажите, что сумма частных решений уравнений у"+ру'+qy=f₁(x) и у"+ру'+qy=f₂(x) является решением уравнения у"+ру'+qy=f₁(x)+ f₂(x)

14. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида e^αxР_n(х), где Р_n(х) — многочлен степени n≥0.

15. Изложите правило для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида е^αx(Аcosβх+Вsinβx).

16. В чем состоит краевая задача для дифференциального уравнения?