- •II. Введение в математический анализ
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Векторные и комплексные функции действительного переменного
- •VI. Неопределенный интеграл
- •VII. Определенный интеграл
- •VIII. Функции нескольких переменных
- •IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •X. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •XVIII. Кратные интегралы
- •XIX. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •XX. Векторный анализ
- •XXI. Элементы теории уравнений математической физики
- •XXII. Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление
- •XXIII. Основные численные методы
- •XXIV. Теория вероятностей и элементы математической статистики
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Векторные и комплексные функции действительного переменного
- •VI. Неопределенный интеграл
- •VII. Определенный интеграл
- •VIII. Функции нескольких переменных
- •IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •X*. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •XI. Числовые ряды
- •XVII. Основные уравнения математической физики
- •XVIII*. Операционное исчисление
- •XIX. Теория вероятностей и математическая статистика
- •XX. Основные численные методы
- •Тема I. Векторная алгебра
- •Тема II. Поверхности и линии
- •Тема III. Элементы линейной алгебры
- •1. Матрицы и линейные операции над ними
- •2. Определители
- •3. Системы линейных уравнений. Правило Крамера
- •4. Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли. Метод Гаусса
- •5. Произведение матриц
- •6. Арифметическое пространство
- •7. Линейные пространства
- •8. Евклидовы пространства
- •9. Линейные преобразования (операторы)
- •10. Квадратичные формы
- •11. Комплексные числа
- •Тема IV. Введение в математический анализ
- •1. Число. Переменная. Функция
- •2. Предел и непрерывность функций
- •Тема V. Производная и дифференциал
- •1. Производная
- •2. Дифференциал
- •3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •4. Свойства дифференцируемых функций
- •5. Формула Тейлора
- •Тема VI. Возрастание и убывание функции. Экстремумы
- •1. Возрастание и убывание функций
- •2. Экстремумы
- •Тема VII. Построение графиков функции
- •1. Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба
- •2. Асимптоты
- •3. Общая схема построения графиков функций
- •Тема VIII. Векторные и комплексные функции
- •1. Векторная функция скалярного аргумента
- •2. Кривизна кривой. Формулы Френе
- •3. Комплексные функции. Многочлен в комплексной области
- •Тема IX. Приближенное решение уравнении. Интерполяция
- •1. Приближенное решение уравнений
- •2. Интерполяция
- •Тема X. Функции нескольких переменных
- •7. Метод наименьших квадратов. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений
- •Тема XI. Неопределенный интеграл
- •Тема XII. Определенный интеграл
- •1. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла
- •2. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •3. Несобственные интегралы
- •4. Интегралы, зависящие от параметра.
- •5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Тема XIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •3. Линейные дифференциальные уравнения
- •Тема XIV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнении. Элементы теории устойчивости
- •1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •3. Элементы теории устойчивости
- •Тема XV. Кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •2. Тройной интеграл
- •Тема XVI. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •1. Криволинейные интегралы; их определение, свойства и приложения
- •2. Формула Грина.
- •3. Поверхностные интегралы
- •Тема XVII. Векторный анализ
- •1. Скалярное и векторное поле. Градиент скалярного поля. Циркуляция, поток, дивергенция и ротор векторного поля
- •2. Формула Стокса
- •3. Формула Остроградского
- •4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
- •5. Операторы Гамильтона и Лапласа
- •Тема XVIII. Ряды
- •1. Числовые ряды
- •2. Функциональные ряды
- •3. Степенные ряды
- •4. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям
- •Тема XIX. Ряды фурье. Интеграл фурье
- •Тема XX. Элементы теории уравнений математической физики
- •Тема XXI. Элементы теории функции комплексного переменного
- •Тема XXII. Операционное исчисление
- •Тема XXIII. Теория вероятностей
- •1. Случайные события
- •2. Случайные величины
- •3. Цепи Маркова
- •Тема XXIV. Элементы математической статистики
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •2. Элементы линейной алгебры
- •3. Введение в математический анализ
- •4. Производная и её приложения
- •5. Приложения дифференциального исчисления
- •6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •7. Неопределенный и определенный интегралы
- •8. Дифференциальные уравнения
- •9. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
- •10. Ряды
- •11. Уравнения математической физики.
- •12. Теория вероятности и математическая статистика.
5. Приложения дифференциального исчисления
191—210. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.
211—220. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r=r(t) в точке t0.
221—230. Определить количество действительных корней уравнения x3+ax+b=0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и Касательных, найти их приближенное значение с точностью 0,01.
6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
231-240. Дана функция . Показать, что
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241—250. Дана функция и две точкии. Требуется: 1) вычислить значениев точке; 2) вычислить приближённое значениефункции в точке, исходя из значенияфункции в точкеи заменив приращение функции при переходе от точкикточке дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскостив точке
241.
242.
243.
244.
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области, заданной системой неравенств. Сделать чертёж.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
260.
261-270. Даны функция , точкаи вектор. Найти: 1)grad z в точке; 2) производную в точкепо направлению вектораa.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271-280. Экспериментально получены пять значений функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице:
-
x
1
2
3
4
5
y
y1
y2
y3
y4
y5
Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию. Сделать чертёж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
7. Неопределенный и определенный интегралы
281—290. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.
291—300. Вычислить приближенное значение определенного интеграла c помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
301—310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
311. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=3х2+1 и прямой у=3х+7.
312. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x=a(t—sin t), y—a(l—cos t) (0≤t≤2π) и осью Ох.
313. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=3(l+cosφ).
314. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r=4sin2φ.
315. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами y=x2 и y=√x.
316. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболойи осьюOy.
317. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у=2/(1+х2) и у=х2.
318. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки А (2; 0) до точки В (6; 8).
319. Вычислить длину кардиоиды r=3(l—cosφ).
320. Вычислить длину одной арки циклоиды x=3(t—sint), y=3(1—cost) (0≤t≤2π).