VI. Неопределенный интеграл

36. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.

37. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.

VII. Определенный интеграл

38. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.

39. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница.

40. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

41. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения.

42. Кривизна плоской кривой. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой. Формулы Френе.

VIII. Функции нескольких переменных

43. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.

44. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.

45. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

46. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций.

47. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия.

48. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Глобальные экстремумы.

IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения

49. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

50. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

51. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

52. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

X. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

53. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения.

54. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения.

XI. Элементы теории устойчивости

55. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений.

56. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости.

XII. Несобственные интегралы

57. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.

XIII. Числовые ряды

58. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.

59. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

60. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

61. Ряды с комплексными членами. Методы исследования на сходимость.

XIV. Функциональные ряды

62. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

XV. Степенные ряды

63. Теорема Абеля. Круг сходимости. Свойства степенных рядов.

64. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

65. Уравнение Бесселя. Решение уравнения Бесселя с помощью степенных рядов. Функции Бесселя.

XV. Ряды Фурье

66. Понятие гильбертова (предгильбертова) пространства. Сходимость в среднем. Понятие ортонормированной системы. Полнота и замкнутость. Равенство Парсеваля—Стеклова. Разложение по полной ортонормированной системе. Приближение в среднем. Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

67. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости. Разложение в ряд Фурье—Бесселя.

XVII. Интегралы, зависящие от параметров. Интеграл Фурье

68. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность. Дифференцирование и интегрирование по параметру.

69. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции.

70. Асимптотическое интегрирование. Вычисление интегралов вида при(интегрирование по частям).

71. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применения.