6.6.2. Биения

На практике нередко приходится складывать одинаково направленные колебания, у которых частоты различны. Если уравнения таких колебаний и, где, то результирующее смещение , т.е.

. (6.38)

Формула (6.38) описывает гармонические колебания со средней частотой и модулированной амплитудой2А, которая изменяется также по закону косинуса (или синуса), но с частотой . Еслииблизки, то результирующие колебания называются биениями. Биения изображены на рис.6.7.

Рис.6.7.

6.6.3. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты

Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси x, так и вдоль перпендикулярной к ней оси y:

.

Траекторию результирующего движения можно найти, если из этих уравнений исключить время:

(6.39)

64

А_в

А_р3 Явление резонанса широко

А_р2 используется в технике. В то же

время резонанс следует учитывать

А_р1 при конструировании машин,

кораблей, самолетов и т.д.,

А_ст поскольку различного рода

вибрации способны вызвать

разрушения, поломки, аварии.

Рис.6.5.

6,5.3. Добротность

Для характеристики колебательной системы как при затухании так и при вынужденных колебаниях часто употребляется величина называемая добротностью системы и показывающая, во сколько резонансная амплитуда А_рез больше стационарной А_ст:

, (6.34)

где учтены (6.27) и (6.28). Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

6.6. Сложение колебаний

6.6.1. Сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Если, например, первое колебательное движение описывается уравнением , а второе, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту, но свои амплитудуА и начальную фазу φ₀:

. (6.35)

Для нахождения A и φ₀ используют векторный способ представления колебаний (рис.6.6). Как видно на рисунке, амплитуда:

. (6.36)

Фаза, определяется выражением:

. (6.37)

9

Таблица 1.1

Физическая величина Единица измерения

Наименование Обозна- Определяющее Наименование Обозна-

чение уравнение чение

М Е Х А Н И К А

Основные

Длина ℓ метр м

Масса m килограмм кг

Время t секунда с

Температура T кельвин К

Дополнительные

Плоский угол α, β, γ,  радиан рад

Телесный угол Ω, ω стерадиан ср

Производные

Площадь S S = ℓ² квадратный метр м²

Объем V V = ℓ³ кубический метр м³

Скорость V V = ℓ ∕ t метр в секунду м /с

Ускорение а a = V / t метр на секунду м /с²

в квадрате

Угловая скорость ω ω = φ / t радиан в секунду рад/с

Частота вращения n, n = N / t секунда в минус с^-1

(N - число оборотов) первой степени

Частота периоди- v v = 1/ T герц Гц

ческого процесса

Частота

циклическая ω ω = 2·π· v радиан в секунду рад /с

Плотность ρ ρ = m / V килограмм на кг/м³

кубический метр

Импульс тела Р_т Р_т = m·V килограмм-метр кг·м /с

в секунду

Сила F F = m·а ньютон Н

Импульс силы Р_с Р_с= F·t ньютон-секунда Н·с

Момент силы М М = F·ℓ ньютон-метр Н·м

Момент импульса L L = m·V·r килограмм- кг·м²/с

квадратный метр

на секунду

Момент инерции I I = m·r² килограмм- кг·м²

квадратный метр

Работа А А = F·ℓ джоуль Дж

10

Окончание таблицы 1.1

Физическая величина Единица измерения

Наименование Обозна- Определяющее Наименование Обозна-

чение уравнение чение

ЭнергияW_к

кинетическая

ЭнергияW_п W = А джоуль Дж

потенциальная

Энергия полная W

Мощность N N = A / t ватт Вт

Примечание. В учебных пособиях иногда еще используют не СИ, а

другие системы единиц измерения, например СГС.

Поэтому приведем некоторые соотношения между

этими системами и СИ. Сила: 1Н = 10⁵ дин;

работа: 1Дж = 10⁷ эрг; мощность: 1л.с.= 736 Вт;

энергия: 1кВт·ч = 3,6·10⁶ Дж.