1.7. Дифференцирование и интегрирование физических величин.
1.7.1. Табличные формулы.
Выше мы уже упоминали, что понятие производной и интеграла в физике несколько отличается от математического. Однако это не влияет на процесс решения и результаты дифференцирования и интегрирования, т. е. все формулы высшей математики справедливы (табл. 1.4)
Таблица 1.4
Дифференцирование Интегрирование .
(ax)' = a(x' = 1) ∫dx = x+C
(aU)' = aU' x2
(xn)' = n·x n-1 ∫dx = x2 – x1 = x
(ℓn x)' = 1/x x1
(ℓn U)' = U' /U
(U·V)'= U·V'+V·U' ∫ xdx = (x2/2)+C
U
'_ U'·V
– U·V'
V ¯ V2 ∫xndx = ((xn+1)/(n+1))+C (n ≠ - 1)
(eах)' = аеах х2
(sin x)'= cos x ∫xdx = x22/2 – x21/2
(sin ω t)'= ω·cos ωt x1
(cos x)'= – sin x ∫еахdx = (eax/а)+С
∫ dx/x = ℓn x+C
∫ sin ωt·dt = –( cos ωt / ω)+C
∫ cos ax·dx = (sin ax / a)+C
С производными и неопределенными интегралами студенты уже встречались, поэтому несколько подробнее расскажем об определенном интеграле. Если результат неопределённого интегрирования справедлив с точностью до некоторой постоянной С, то в результате «взятия» определённого интеграла получается точный ответ, поскольку интегрирование в этом случае ведётся в заданных (конечных) пределах. Эти пределы указываются под интегралом (начальная величина) и над интегралом (конечная). После решения интеграла (правила те же,
57
где k - коэффициент упругости (жесткости) пружины.
Механическая система, совершающая колебания около положения равновесия, называется классическим осциллятором. Примерами гармонического осциллятора являются колебания груза, подвешенного на пружине, математического и физического маятников.
Минимальный промежуток времени; по истечении которого движение повторится, называют периодом колебаний Т. Число полных колебаний за одну секунду носит название частоты V:
(6.3)
В теории колебаний используют также циклическую частоту ω:
. (6.4)