2.3. Кинематика абсолютно твердого тела

Абсолютно твердое тело (в дальнейшем – твердое тело) можно представить как совокупность большого числа материальных точек, жестко связанных между собой.

Простейшими видами механического движения твердого тела являются поступательное и вращательное.

При поступательном движении все точки твердого тела движутся одинаково. Для описания такого движения справедливы все уравнения, которые были получены для поступательного движения

материальной точки. При этом в твердом теле можно выбрать любую

точку, которую обычно называют полюсом.

Прежде чем перейти к рассмотрению

вращательного движения твердого тела,

целесообразно ввести понятие: число степеней

свободы (ЧСС) - число независимых

всевозможных перемещений механической

системы. Количество уравнений, с помощью

0 которых описывается то или иное движение,

равно числу степеней свободы. Так, для

свободной материальной точки ЧСС равно трём,

Рис. 2.6. возможных кинематических уравнений также 3:

; ;.

26

Вращение вокруг неподвижной оси - это движение, при котором все точки твердого тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения (см. рис.2.6). Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы и описывается одним уравнением: , где– угловое перемещение.

Чем дальше отстоят от оси вращения тела его точки, тем большие пути (>) они проходят за один и тот же промежуток времени, тем больше перемещение (>) и линейная скорость (>) Поэтому-то и неудобно пользоваться для описания вращательного движениям этими физическими величинами, а необходимо переходить к угловым, для определения которых следует пользоваться формулами ((2.19) - (2.25)).

Более сложным случаем вращательного движения является движение твердого тела вокруг неподвижной точки О. В этом случае все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер, центры которых находятся в точке О, а само твердое тело имеет 3 степени свободы: оно может совершать независимые перемещения вокруг трех взаимно перпендикулярных неподвижных осей, проходящих через точку О. Поэтому для однозначного задания положения такого тела в пространстве необходимо иметь три независимые величины. Обычно для этого используют три угла:.

В самом общем случае твердое тело имеет 6 степеней свободы (3 - соответствуют поступательным движениям вдоль трех осей координат и 3 - вращениям вокруг этих осей). Такое движение называется сложным. Оно должно описываться шестью уравнениями.

Частным случаем сложного движения является плоскопараллельное или плоское движение (например, качение цилиндра по плоской поверхности), при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения со скоростью и вращения с угловой скоростью:,

где - скорость точек твердого тела относительно неподвижной системы отсчета;- скорость, обусловленная вращением тела;- радиус-вектор, проведенный из центра вращения (или из полюса) в данную точку.

47

потенциальной энергии взаимодействия тела с Землёй.

откуда , (4.23)

где – вторая космическая скорость. Тело, запущенное с такой скоростью с поверхности Земли, становится спутником Солнца. Траектория движения тела в этом случае – парабола.

Первую космическую скорость – скорость, необходимую для запуска искусственного спутника Земли, можно определить, пользуясь 2-ым законом Ньютона (предлагается вывести студентам самостоятельно):. (4.24)

Наконец, чтобы преодолеть притяжение не только Земли, но и Солнца, тело должно получить 3-ю космическую скорость:

5. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ. ЭНЕРГИЯ

5.1. Работа постоянной и переменной силы. Мощность.

Работа А силы - скалярная физическая величина, характеризующая меру действия силы, приложенной к телу. Она зависит от векторов силы и перемещения тела.

Для вычисления работы силы вводится понятие элементарной работы: , (5.1)

где - элементарное перемещение,- угол междуи.

В декартовых координатах

dA = F_x·dx + F_y·dy + F_z·dz , (5.2)

где F_x , F_y , F_z - проекции силы, а dx, dy, dz – проекции элементарного перемещения на осях координат x, у и z. Работа на конечном перемещении ₂₁ определяется как интегральная сумма элементарных работ dA и выражается криволинейным интегралом:

. (5.3)

46

Потенциал гравитационного поля – скалярная физическая величина, численно равная потенциальной энергии тела единичной массы, которой оно обладает в гравитационном поле другого тела:

. (4.20)

Здесь использована формула (5.19) для потенциальной энергии взаимодействия (притяжения) двух материальных точек .

Потенциал увеличивается с расстоянием, максимальное его значениесоответствует, то есть бесконечному удалению материальной точки от центра сил, в остальных случаях

Если продифференцировать (4.20) по , получим модуль напряженностигравитационного поля: . (4.21)

Напряженность поля тяготения , равняя по абсолютной величине изменению потенциала на единице длины, взятой вдоль прямой, соединяющей данную точку с центром силы.

В общем случае необходимо использовать векторные величины:

(4.22)

где знак «-» поставлен в связи с тем, что напряженность направлена к центру сил, а– от центра.

Отрицательная величина потенциала (4.20) приводит к важным следствиям, например, это обусловливает трудности, связанные с запуском космических аппаратов. Действительно предположим, что тело массой находится на поверхности Земли, где потенциал, а потенциальная энергия (см. (4.20)).

. Отрицательный знак потенциала и потенциальной энергии означает, что данное тело находится в энергетическом «плену» у Земли или, как говорят, в «потенциальной яме», «глубина» которой равна . Чтобы выйти из этой «потенциальной ямы», тело должно преодолеть потенциальный барьер, высота которого равна «глубине» потенциальной ямы.

Понятие «потенциальной ямы» - это условное выражение. Можно считать, что всякие связанные тела находятся в потенциальной яме: молекулы в жидкости, свободные электроны в металле, электроны в атоме и т.д.

Например, чтобы удалить тело массы m из «потенциальной ямы»

Земли, ему необходимо сообщить кинетическую энергию W_к , равную.

27