5.4. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия W_n - скалярная физическая величина характеризующая меру взаимодействия тел. Потенциальная энергия – энергия положения, зависящая от взаимного расположения взаимодействующих тел. Если кинетическая энергия может служить характеристикой даже одного тела, то потенциальная энергия - энергия взаимодействия как минимум двух тел. Например, части пружины взаимодействуют друг с другом, взаимно отталкиваясь при её сжатии . и взаимно притягиваясь при её растяжении. Значит, деформированная пружина обладает потенциальной энергией взаимодействия её частей. Система камень и Земля, взаимно притягиваясь в соответствии с законом всемирного тяготения, обладает потенциальной энергией. Неточно говорить в этом случае о потенциальной энергии только одного камня, как это часто, к сожалению, делается.

Поскольку силы взаимодействия зависят от расстояния между телами, то и говорят, что потенциальная энергия - энергия положения. Условимся называть потенциальной энергией системы (тел) физическую величину W_п, уменьшение которой равно положительной работе внутренних сил: W_n1 - W_n2 = A или A = - (W_n2 - W_n1), (5.14)

где W_n1 – начальное значение потенциальной энергии, W_n2 – её конечное значение.

50

. (5.9)

5.2. Энергия

Энергия W - скалярная физическая величина, количественно характеризующая меру движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия в изолированной системе не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую - это один из наиболее фундаментальных законов природы (Закон Ломоносова).

В соответствии с различными видами движения материи существуют разные формы энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и др. Это деление несколько условно. Так, внутренняя энергия складывается из кинетической энергии хаотического движения молекул, атомов относительно центра масс тела и потенциальной энергии взаимодействия этих частиц друг с другом.

Упомянутые выше кинетическая и потенциальная энергии являются разными видами механической энергии.

Механическая энергия - скалярная физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу:

, (5.I0)

Для вывода любого вида энергии удобно пользоваться одним и тем же приемом: сначала определить работу по (5.3), а затем с помощью (5.10) перейти к энергии, т.е., решить систему уравнений:

(5.11) а из сопоставления уравнений (5.11) следует

. (5.12)

То есть элементарная энергия (или ее изменение) равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение.

5.3. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия W_k - скалярная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. Кинетическая энергия - энергия движения, определяемая массой тела и его скоростью.

Рассмотрим движущееся под действием силы (или равнодействующей нескольких сил) тело массой m.

23

Модуль общего ускорения а найдем по формуле (2.9) и рис. 2.4

а = = √ а²_n+ a²_ . (2.13)

Частные случаи

1). = 0. Это возможно

только при r = ∞ (см. (2.11)), то

есть траектория – прямая линия.

Вывод: при прямолинейном

движении нормальное ускорение

отсутствует.

0 Рис. 2.4. 2). = 0. Это возможно

(согласно (2.12)), когда || = const, то есть при равномерном движении. Нормальное ускорение при этом постоянно (см. (2.11)). Таким образом, всякое движение ускоренное (движение по инерции).

3). = 0, = 0. Следовательно, =0, , r =, то есть данное движение – равномерное и прямолинейное.

Обобщим вышесказанное:

Равномерное прямолинейное движение.

(=const, = 0, = 0). При этом перемещение можно найти по (2.4), а путь по (2.5):

; ;;, (2.14)

|d|=;;. (2.15)

Если при t = 0 тело находится в начале координат, то ;.

Равнопеременное прямолинейное движение.

(const, = 0, = const).

; ;

(2.16)

(2.17)

24

Неравномерное прямолинейное движение

; . (общие уравнения кинематики) (2.18)

Равномерное движение по окружности

(, но ; , , ).

В данном случае удобно перейти

к угловым величинам:

- угловое перемещение,

- угловая скорость,

0 - угловое ускорение.

На рис. 2.5 видно, что

, , (2.19)

Рис. 2.5. где - перемещение,- радиус окружности,и- радиус-векторы.

Угловой скоростью называют векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения углового перемещения:

. (2.20)

Аналогично, угловое ускорение . (2.21)

С помощью (2.19) можно найти связь между и с соответствующими линейными величинами и :

, , (2.22)

, . (2.23)

Поскольку и- величины векторные, направление которых находится по правилу правого винта, то налицо векторные произведения соответствующих векторов:

; . (2.24)

К вращательному движению применимы все формулы поступательного (прямолинейного) движения (см. (2.14) – (2.18)) при

49

Мощность N – скалярная физическая величина, характеризующая, быстроту (скорость) совершения работы:

при . (5.5)

Учтя (5.1), получим еще одно выражение для определения мощности: (5.6)

где - скорость перемещения тела. За единицу измерения работы в СИ принят джоуль: [А] = [F]·[]=Н·м = Дж. Единица измерения мощности - ватт: [N] = [A]/[t] = Дж/с = Bт.

Вcе силы, встречающиеся в макроскопической механике, подразделяются на консервативные (потенциальные) и неконсервативные.

Консервативными называются силы, работа которых зависит только от начального и конечного положений тела. Причем работа консервативной силы по произвольной замкнутой траектории (контуру) L равна нулю. Это следует из рассмотрения рис.5.3. изменение направления движения тела например,

в точке 2 вызывает изменение знака проекции консервативной

силы и знака её работы, то есть Рис. 5.3.

. Поэтому,

или . (5.7)

В этой формуле знак указывает на то, что интегрирование проводится по замкнутому контуруL (см. также п. 4.1).

В качестве примера рассмотрим работу, совершаемую при перемещении тела в поле центральных сил (см. п. 4.2), например, в гравитационном поле. Докажем, что центральные силы консервативны, то есть , (5.8)

где учтено уравнение (4.2).

Действительно, так как , то, a(тело вышло из точки1 и вернулось в эту же точку), то

48

Из (5.3) явствует, что сила не совершает работу в следующих случаях:

l) когда точка приложения силы неподвижна (тело покоится)

и r = const, a dr = 0;

2) если сила направлена по нормали к перемещению (угол), например, центростремительная сила работы не совершает.

Работу производит лишь тангенциальная (касательная) составляющая силы. При этом, если < (см.рис. 5.1.а), то А > 0, если >(см.рис.5.1,б), тоА < 0.

0

Рис. 5.1. б/

r

Рис. 5.2. Когда сила F постоянна на перемещении (рис. 5.2, a), то

. (5.4)

На рис.5.2,а видно, что работа постоянной силы соответствует площади прямоугольника со сторонами F_r и .

Если же сила различна в разных точках пути, то работа (см. рис. 5.2, б) численно равна площади криволинейной трапеции; аналитически она представляется формулой (5.3).

25

замене в них линейных величин на угловые (см. (2.19), (2.20), (2.21), (2.24)).

Период вращенияТ– этовремя одного оборота(при этом), гдеN– число оборотов.

Частота вращения–число оборотов в секунду:.

Учитывая эти определения, а также (2.21), получаем:

. (2.25)

Векторы ,инаправлены вдоль оси, перпендикулярной плоскости вращения и проходящей через центр окружности.

При ускоренном движении все эти три вектора сонаправлены; при замедленном (торможении) - имеет направление противоположноеи.