1.7.2. Полный дифференциал.

Допустим, имеется физическая величина U(x, y, z, t), зависящая не только от координат x, y, z, но и от времени t, тогда полным дифференциалом называют величину

dU = (∂U / ∂x)dx + (∂U / ∂y)dy + (∂U / ∂z)dz + (∂U / ∂t)dt. (1.13)

Для стационарной, не зависящей от времени функции

dU = (∂U / ∂x)dx + (∂U / ∂y)dy + (∂U / ∂z)dz. (1.14)

1.7.3. Дифференцирование векторных физических величин.

Векторы подчиняются тем же правилам дифференциального исчисления, что и скаляры, но с учётом правил векторной алгебры. Производная от векторной величины r (t) по скалярной переменной t есть вектор

= d/dt = ℓim (∆/∆t) =. (1.15)

∆t→0

Производная от произведения скаляра а(t) на вектор (t) есть вектор

. (1.16)

Производная от скалярного произведения двух векторов r₁(t) и r₂(t) есть скаляр

(1.17)

Производная от векторного произведения векторов r₁(t) и r₂(t) есть вектор

. (1.18)

18

1.7.4. Интегральные и дифференциальные физические

величины.

Интегральными называют физические величины, характеризующие свойства веществ или полей, усреднённые по геометрическим параметрам (объёму, площади, длине). Например, сопротивление R = ρ·ℓ/S (где ℓ и S – длина и площадь поперечного сечения проводника, ρ – удельное сопротивление), сила тока = j·S или точнее (где j – плотность тока).

Дифференциальные физические величины характеризуют свойства вещества или поля в какой-то их точке (в очень малых объёме, площади или длине). Например, напряжённость и потенциал гравитационного или электрического полей, плотность электрического тока(), удельное сопротивление проводника и т. д.

55

относительных скоростей шаров после соударения и до соударенияназывают коэффициентом восстановления: .

Если ε = 0, то удар абсолютно неупругий, если ε = 1, то абсолютно упругий.

При абсолютно неупругом ударе часть механической энергии переходит в другие формы энергии (например, в тепловую). В этом случае выполняется лишь закон сохранения импульса, на основании которого и находим скорость шаров после столкновения;

; . (5.25)

Найдем изменение кинетической энергии шаров, т.е. ту ее часть которая перешла во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию(диссипации – рассеянию).

. (5.26)

При абсолютно упругом ударе потерь энергии нет, и в этом случае выполняются законы сохранения импульса и энергии:

. (5.27)

Решая систему этих уравнений, находим:

; . (5.28)

Когда массы соударяющихся тел равны: m₁ = m₂, то шары обменивается скоростями: ,.