- •Федеральное агентство по образованию
- •6. Механические колебания. 56
- •1. Физические величины и их единицы измерения. Математические операции с физическими величинами. 6
- •2. Кинематика поступательного и вращательного
- •3. Динамика поступательного и вращательного
- •4. Силовые поля, закон всемирного тяготения.
- •5. Работа силы. Мощность. Энергия. 47
- •Физические основы механики
- •1.1. Элементы кинематики.
- •1.2. Динамика поступательного и вращательного движения.
- •1.3. Силовые поля. Элементы теории гравитационного поля.
- •§ 55 – 58; С 187 – 195;
- •§ 5.4 – 5.6; С. 55 – 62.
- •1.4. Работа силы. Мощность. Энергия.
- •1.5. Механические колебания.
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Международная (интернациональная) система единиц измерения физических величин (си).
- •6.6.2. Биения
- •6.6.3. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты
- •6,5.3. Добротность
- •6.6. Сложение колебаний
- •6.6.1. Сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •1.3. Кратные и дольные единицы измерения.
- •6.5.2. Резонанс
- •6.5. Вынужденные колебания
- •6.5.1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
- •1.4. Некоторые рекомендации по правильному
- •1.5. Математические операции с
- •6.4. Собственные затухающие колебания
- •6.3.4. Энергия собственных незатухающих колебаний.
- •1.6.1. Умножение векторной величины на скаляр.
- •1.6.2. Сложение двух векторных величин.
- •1.6.3. Вычитание векторных величин.
- •1.6.4. Разложение векторных величин
- •6.3.Свободные незатухающие колебания.
- •1.6.5. Скалярное произведение двух векторов r1 и r2 определяется как скаляр (число).
- •1.6.6. Векторное произведение двух
- •1.7. Дифференцирование и интегрирование физических величин.
- •1.7.1. Табличные формулы.
- •6.2. Кинематика колебательного движения
- •6.1. Основные понятия
- •1.7.2. Полный дифференциал.
- •1.7.3. Дифференцирование векторных физических величин.
- •1.7.4. Интегральные и дифференциальные физические
- •5.8. Энергия вращательного и плоского движений.
- •5.6. Закон сохранения полной энергии (закон Ломоносова).
- •5.7. Применение законов сохранения импульса и энергии. Соударения.
- •2.1. Основные понятия.
- •2.2 Кинематика материальной точки.
- •5.5. Закон сохранения механической энергии
- •5.4.1. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.
- •5.4.2. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух тел
- •5.4. Потенциальная энергия
- •2.3. Кинематика абсолютно твердого тела
- •2.4. Механический (классический) принцип относительности.
- •4.5. Гравитационное поле.
- •3.3. Закон сохранения импульса
6.4. Собственные затухающие колебания
Если вследствие внутреннего трения, сопротивления воздуха и т.п. энергия колебательной системы постоянно уменьшается, то и амплитуда колебания в конечном счете уменьшится до нуля. Поэтому амплитуда в данном случае есть функция времени
Затухание вызывается силой, которая пропорциональна скорости (для не очень больших скоростей) и направлена противоположно ей (см. 3.16):
, где r - коэффициент сопротивления.
Используя уравнение движения , в котором, имеем:или.
Деля это равенство на массу и вводя понятие коэффициента затухания , получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
. (6.23)
Общим решением этого уравнения является:
, (6.24)
где
(6.26)
T= (6.26’)
здесь Aз и - амплитуда и циклическая частота затухающих колебаний.
Натуральный логарифм отношения амплитуд предыдущего колебания к соседнему последующему называется логарифмическим декрементом затухания (см.рис.6.4), т.е.
Величина, обратная показывает число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшится вe = 2,72 раза:
. (6.28)
60
где I - момент инерции физического маятника относительно оси вращения.
Для малых отклонений имеем
Обозначив , (6.19) придем к выражению, подобному (6.8):
, (6.20)
которое является дифференциальным уравнением колебаний физического маятника. Решением его будет: .
С физической точки зрения формулы (6.10), (6.13) и (6.20) идентичны. Это объясняется тем, что все они отражают свободные незатухающие колебательные движения (внешние силы отсутствуют).
Из уравнения (6.19) с учетом (6.4) получим выражение для периода колебания физического маятника
, (6.21) где - приведенная длина физического маятника.
Сопоставляя (6.21) с формулой (6.15) находим, что математический маятник с длиной l будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник, с длиной lпр.
6.3.4. Энергия собственных незатухающих колебаний.
В любой момент времени полная энергия колебательного движения складывается из кинетической (Wк) и потенциальной (Wп) энергий:
, (6.22)
где ,, т.к. колебания незатухающие и учтена формула (6.9’). Таким образом, для незатухающих колебаний выполняется закон сохранения механической энергии.
13
Элементы векторной алгебры.
Cкалярными физическими величинами называются величины, характеризующиеcя числовым значением и знаком (температура, время, масса, энергия и т. п.), действия с ними подчиняются обычным алгебраическим правилам.
Векторная физическая величина – величина, характеризующаяся кроме числового значения ещё направлением в пространстве (перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс и т. п.); действия с ними подчиняются правилам векторной алгебры.
||= r Векторная величина обозначается
буквенным символом со стрелкой сверху:
, . Векторная величина изображается
направленным отрезком (рис. 1.1.). Вектор
0 можно переносить параллельно самому себе
Рис.1.1 и вдоль линии действия. Символом r =||
обозначается модуль вектора.
Единичным вектором называется вектор, модуль которого равен единице: =/ ||.