1.6.1. Умножение векторной величины на скаляр.

Умножение вектора на скаляр а дает вектор а. При этом направление сохраняется с точностью до знака. Модуль вектора а равен |а| = |a|·|| = |a|·. (1.1)

1.6.2. Сложение двух векторных величин.

Два вектора и при сложении дают вектор = (+). Сложение векторов отвечает геометрическому сложению направленных отрезков (правило параллелограмма), рис. 1.2. Длина вектора в общем случае определяется по теореме косинусов

α (||)² = r² = r+ r – 2 r· r ·cos α. r = √ r+ r– 2 r· r·cosα . (1.2)

Для нормальных векторов 

= + = √ r+ r. (1.3)

14

1.6.3. Вычитание векторных величин.

Разность двух векторов и называется такой вектор = – , который в сумме с вектором дает вектор , т. к. – = +(–) (рис. 1.3).

(–)

Рис. 1.3.

1.6.4. Разложение векторных величин

на составляющие.

Каждый вектор можно заменить несколькими векторами ,,, …., которые в сумме дают вектор .В этом случае ,,, и т.д. называются составляющими вектора .

Проекции вектора на оси декартовой системы координат показаны на рис.1.4.

z

x = ||·cos α,

z y = ||·cos β,

γ z = ||·cos γ.(1.4)

0 α x

y β x

y

Рис. 1.4.

Радиусом-вектором точки называется вектор (см. рис. 1.4), проведённый из начала координат в данную точку. Радиус-вектор однозначно определяет положение точки в пространстве.

59

где знак минус учитывает противоположные направления перемещения (смещения) и силы F_y, a , т. к. первоначально маятник был отклонен на малый угол.

С другой стороны, F_y- можно определить по второму закону Ньютона: , или.

Тогда , (6.13)

где . (6.14)

Выражение (6.13) является дифференциальным уравнением колебаний математического маятника, решением которого будет

.

Учитывая (6.4) и подставляя вместо её значение из (6.14) получим формулу для периода колебаний математического маятника:

. (6.15)

Заметим, что период математического маятника не зависит не только от амплитуды (изохронность), но и от массы маятника.

6.3.3. Физический маятник - это любое тело (не представляющее собой материальную точку), колеблющееся относительно оси, которая не проходит через центр инерции С (рис.6.3).

Если центр инерции расположен на расстоянии l от оси вращения, то момент силы тяжести

. (6.16)

Этот момент силы заставляет отклоненный маятник вернуться в исходное состояние и продолжить движение в другую сторону, поэтому уравнение его движения будет иметь вид:

. (6.17)

Здесь учтен основной закон вращательного

движения:

Рис.6.3. , (6.18)

58