2.2 Кинематика материальной точки.

Основной задачей кинематики является описание движений относительно системы отсчета.

Получим сперва формулы для неравномерного криволинейного движения, то есть для самого общего случая движения материальной точки. А затем рассмотрим частные случаи: вращательное, прямолинейное, равномерное и равнопеременное движения. Предположим, материальная точка за время ∆t = t₂ – t₁ перемещается из

53

Здесь учтено, что угол междуиравени

(5.18)

Сравнивая левые и правые части данной системы уравнений, получаем: . (5.19)

То есть потенциальная энергия взаимно тяготеющих (притягивающихся) тел отрицательна. Потенциальная энергия отталкивающихся тел, к примеру, двух одноименно заряженных тел, - положительна. (Предлагается студентам вывести соотношение для этого случая).

Теперь получим формулу для W_п(h), когда в качестве начального состояния выбрана потенциальная энергия при нахождении тела не в бесконечности, а на поверхности Земли (при h₀ = 0; W_п(h₀)= 0):

(5.20)

Если h << R_з , то , (5.21)

здесь учтена формула (4.15).

5.5. Закон сохранения механической энергии

В изолированной системе кроме полного импульса сохраняющейся величиной является и механическая энергия.

Допустим, два тела массами m₁ и m₂ под действием консервативных сил идвижутся со скоростямии, тогда

, . (5.22)

При этом тела за какое-то время t совершат перемещения:

, . (5.23)

52

Согласно этому условию, если внутренние силы совершают положительную работу (А > 0), то потенциальная энергия системы уменьшается W_п2 < W_п1 ; например, при падении камня на Землю с высоты, при перемещении поршня расширяющимся паром, при сжатии растянутой пружины и т.п. Если же работа внутренних сил А < 0, то потенциальная энергия системы увеличивается (W_п2 > W_п1).

5.4.1. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.

Если, например, растянуть пружину внешней силой F = kx , то возникнет сила упругости F_y = - kx , которая будет являться внутренней силой. Сила F_y , сжимая пружину, совершит положительную работу A > 0 за счет уменьшения потенциальной энергии пружины. Согласно (5.11) имеем

. (5.15)

Опустив индексы, получим потенциальную энергию деформированной пружины . (5.16)

К тому же результату придем, если за начало отсчета принять положение свободного конца пружины, когда она находится в недеформированном состоянии, то есть X₂ = 0; при этом начальная потенциальная энергия также равна нулю.

5.4.2. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух тел

Рассмотрим два тела (являющиеся материальными точками) массами m₁ и m₂, притягивающиеся друг к другу (например, камень и Земля) с силой .

При приближении этих тел будет производиться положительная работа. В соответствии с (5.11) имеем:

. (5.17)

21

положения 1 в положение 2 (рис. 2.2). Очевидно, что перемещение

∆= –. (2.2)

1 Разделив ∆на соответствующий

промежуток времени ∆t , получим

3 вектор средней скорости:

_ср = ∆/ ∆t. (2.3)

∆Кроме этой скорости, средней для

2 участка пути 1 – 2, используют в той

или иной точке пути (например, в

0 положении 3), называемую мгновенной

Рис. 2.2. скоростью. Из высшей математики известно, что для определения мгновенной скорости нужно взять предел средней скорости при ∆t→0:

=ℓim_ср = ℓim ∆/∆t = d/dt. (2.4)

∆ t→0 ∆ t→0

Таким образом, вектор мгновенной скорости равен производной по времени от радиуса-вектора движущейся материальной точки. Так как в пределе длина хорды |d| стремится к длине стягиваемой дугиdℓ, то модуль скорости

=||= |d| /dt = dℓ /dt = ds/ t (2.5)

Направление вектора скорости есть, как требует определение (2.4), предел направления хорды (совпадающей по направлению с ∆) при уменьшении ее длины (стягивании в точку). А это есть направление касательной к траектории.

Следовательно, в общем случае вектор мгновенной скорости в каждой точке траектории касателен к ней.

Физический смысл скорости: скорость – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения перемещения материальной точки в пространстве.

При произвольном движении вектор скорости непрерывно меняется как по величине, так и по направлению (рис. 2.3).

Векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением .

Формулу для определения ускорения неравномерного криволинейного движения можно получить из следующих соображений. Если обозначить скорость материальной точки в вектор ₂ в точку А параллельно самому себе, можно найти приращение ∆:

∆= ₂ –₁ . (2.6)

22

Разложим вектор ∆на два составляющие:

вектор ∆_ – касательный

А ₁ к траектории рассматриваемой

С кривой и вектор _n –

перпендикулярный ∆, то есть

В направленный к центру кривизны

траектории О. При этом

∆∆=+∆. (2.7)

D Среднее ускорение за

промежуток времени ∆t:

О Рис. 2.3.

= ∆/∆t = /∆t + ∆/∆t. (2.8)

Мгновенное ускорение:

=ℓim =ℓim/∆t + ℓim ∆/∆t =+, (2.9),где введены обозначения: =ℓim/∆t, =ℓim ∆/∆t. (2.10)

∆ t→ 0 ∆ t→ 0

Вектор носит название нормального (или центростремительного) ускорения, вектор называют тангенциальным (или касательным) ускорением. Эти названия следуют из выражений (2.10), поскольку ∆_n нормален, а ∆_ касателен к траектории.

Модуль нормального ускорения можно определить по рис.2.3, учтя, что треугольник AOD и АВС подобны:

а_n =|| = / r, (2.11)

где r – радиус кривизны траектории. (Вывод этой формулы представляется сделать студентам самостоятельно).

Надо отметить, что уравнение (2.11) является общим, то есть справедливым для движения по любой кривой: эллипсу, параболе, окружности и др., а также для равномерного, равнопеременного и неравномерного движений. Это вытекает из того, что при выводе (2.11) не было наложено никаких ограничений на вид траектории и характер движения.

Модуль тангенциального ускорения а_ =|| =d/dt. (2.12)

Нормальное и тангенциальное ускорения зависят от вектора скорости неоднозначно. Так, нормальное ускорение возникает только при изменении направления скорости, а тангенциальное ускорение – при изменении модуля скорости.

51

По второму закону Ньютона . Решая систему уравнений (5.11), получаем:

Опуская индексы, имеем(при m=const) (5.13).

Этот же результат получим при предположении, что тело начало движение из состояния покоя.

Если А > 0, то W_k2 > W_k1 , то есть положительная работа внешней силы увеличивает кинетическую энергию тела. Наоборот, при А < 0 W_k2 < W_k1, то есть отрицательная работа внешних сил выступающих как силы сопротивления или торможения, уменьшает кинетическую энергию.