книги / Статистический анализ временных рядов

Приложение В.

РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ

723

(ii)/?*:

x , < g * x h

/, /,

k

различные

g* sin 0 =

sin (я/3 — 0)

0= arcte

2j q r y ■ >1

(Hi) /? //: x,

>

g ,

X j> g * x k,

i,

j,

k

различные

e = arctgl f T

T

’ g*>{

Процедура, предложенная Уиттлом, состоит в том, что

принимается решение

p i =

р2 =

р8 =

0,

если xi

<

g t i

=

1, 2, 3. Это есть область R 0.

Решение p i > О

принимается,

если

х\ >

g .

Д ля

g > 1/2 это есть о б л а с т ь ^ (J R 12 \JR is-

В этом

случае

решение р2 =

р3 =

0

принимается,

если х2 <

g (х2 +

* 3)

и

х 8 <

g(x2 +

+

* 8) или,

что

равносильно,

если

х2

g*x8 и

х 3 <

g*x2. Это есть

область R i.

Решение приводится

только

для

g

>

1/2 из соображений большей

наглядности.

Д ля

1/3 <

g

<

1/2 решение p i >

0 принимается, если х\

>

g,

xi

>

х2 и х\ > х 3

Г л а в а 5 , у п р а ж н е н и е

6 . Левая часть доказываемого соотношения равна

М

* +

1)

-

Р я (0 а*+ х=

[P q (t +

1) -

Р „ (01 « '+ ’

=

Р ,_ ,

(0

в

силу

представления

(13)

§3 .4.

Г л а в а 5 у у п р а ж н е н и е 7. Доказательство проводится по индукции. Д ля т =

=

1

— а)

а?

=

0.

Предположим, что результат

верен

для

т

=

k. Тогда

(9 > _

а)*+1 р *

до

=

( 9 > -

а)* ( 2 > -

а) P k (t) а* =

( f P -

а )* Р * _ , (*) а '+1 = 0

в силу упр. 6 и предположения индукции.

Г л а в а

5 ,

у п р а ж н е н и е 9 . Полином степени р

от

^

можно записать в виде

валах (— оо, с)

и (с, оо). В противном случае е/ =

0 или

1. Тогда приходим к про­

тиворечию: из

(i)

получаем,

что р <

с,

а из

(Hi) — что р > с.

Г л а в а 6 , у п р а ж н е н и е

2 7 . (а) Вектор у

=

(у\, у 2, у ъ, у4) '

имеет нормальное

распределение с вектором средних 0

и ковариационной

матрицей 2 , где

Vo +

Vi

0

0

0

<

0

V o +

Vi

0

0

0

0

о

1 gi

0

>

0

0

0

Vo ~

Vi

Тогда

= (v0 +

Vi) (у \ - f (/|)

и

=

(Yo — Vi) (у\+ у\) -

независимые слу-

с 2 степенями сво­

боды, так что плотность совместного

распределения величин Y \

и Уг равна

Уг =

(Уo + V i )

(Qo +

Qi)/2

^ 2 =

(Vo

Vi) (Qo — Qi)/2

равен (уд — V i)/2 и плотность совместного

распределения величин Q0 и Qx рав­

на (И).

(B) Якобиан преобразования

Q0 =

Q0,

г =

Q i/Q 0 равен Q0. Из (а) вытекает

тогда, что плотностью совместного распределения величин Q0 и г является (Ш).

(c) М аргинальная

плотность

величины

Q0 равна интегралу от (iii) по множе­

ству

всех

возможных

значений

г, т. е. равна

2

2

1

- ° ~ Tl

Q„g-VoQ,/2 j e - y ^ 2dr =

-1

2

2

Q0e~ Vo<?o/2---- 2— (eV,<?o/2 _ e-V,Qo/2)(

=

Vl

o

ViQo

что совпадает c (iv). Ее можно

такж е

записать

в виде

-

V

" е~ VoQ°/2 shVlQo/2,

0 < Qo-

____<у2

СО

8 7 °о + ^

г)2 j [(То + Y ir ) QO]4/2-1 e-<Vo+v.OQo [(Yo + ^

dQo] e

2

2

Vo-Yi

C4/2Y =

lu

11

— _ -------------o4/2r

8(Yo +

Y i')a

( / ;

2 (Y „ +

V lr)2 •

Приложение В.

РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ

729

<

< vm, то эти

полюсы

расположены

в точках

г =

(— //2 )/(v / — /?), / = 1, ...

..., т . (Если R =

vm, то имеется т — 1

полюсов,

так

ка к при этом не будет по­

люса

при

/ = т .)

Имеем

2 (v/ — R)

1 1 — 2 / z

(V / —

У?)]— 1

=

Поэтому

полюс в

точке -г

= —

(i/2 )/(v / — R )

равен

i

й- н / [ 2 ( vy- Л ) ]

(V,- —

R )H~ 2‘

4я

н

7 3 0

РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ

Приложение В.

ного выражения

имеет порядок О (R*H ), числитель

по абсолютной

величине не

оо

превосходит

1 и

длина дуги

Сд* равна n R * . Н аконец, Рг {г >

R ]

=

| f (и) du =

-

42-2 (Vя / —

/? ) Я —2

2 (vy — /?),

<

R ^

vm,

П (v/—v*)

/я = 1, • •.» Я —U

Г л а в а

6 , у п р а ж н е н и е 6 9 . Производная

левой части

равна

я»

dx

> 1 - + 6 cos*

Следуя указанию , получаем

я

dx

2 I i(а + Ь) cos2 (х/2) + (я — 6) sin2 (х /2 )'

я

dy

г»____________ sec2 (х/2) dx

i)

<«+»>[i+ -^ f tg1^)!

У

1 +Уа

—

2ft

“

V аа —

Производная правой части имеет то ж е самое выражение. М ы показали в сущнсъ

сти, что ф ункция

<i)

С (я ,

6) = l

lo g (a + 6 c o s x )rfx —

n lo g —

- - ■■■^ ---------- ,

a > 6 > 0 ,

о

не зависит от первого аргумента. Положим a = kb

> 0, Л >

1. Тогда С (£&, Ь) * *

я

=

С* (6) и С*(6) =

^ log (k + c o s x )d x —

n log (k +

У k 2— l)/2 , так что C (a, b) =

о

= С. При 6 -> 0 левая

часть (i) остается, таким образом, постоянной, тогда ка к

правая часть стремится

к нулю . Следовательно, С (а, Ь) == 0.

Приложение В.

РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ

731

Г л а в а

7 , у п р а ж н е н и е

2 8 . Существование искомых процессов скользящ его

среднего

и

авторегрессии обеспечивается

соответственно следствиями 7.5.1

и

7.5.2. В

каждом из этих случаев

Л

Л

|о (Л )

— о т (Л)

J e‘U [HX)-fm(W d\

< 8

dX.

—71

—я5

Г л а в а

7 , у п р а ж н е н и е

2 9 . Процессы

{y t) и {W(}

независимы. Поэтому

в

силу результата упр . 9 спектральная

плотность процесса {z/} равна

Q2

__т2_

2л I еа + р|а +

2я •

Спектральная плотность

процесса { г \}

выводится из (51)

и требований

равенства

двух плотностей,

которые можно записать

в виде К а «== рт2 и К

(1 +

а 2) =

о2+

+

т 2 +

62т 2. Тогда К =

рт2/а и а является

корнем уравнения

Рт2а 2 —

(а2 +

+

т 2 +

р2т 2) а +

р т2 =

0. Оба корня этого уравнения действительны, поскольку

(а2 + т + р2т2)2 — 4 (рт2)2 =

(а2 +

т 2 — р2т2)2 +

4о2р2т2 > 0.

х (ht г, s) =

х (— Л,

s — Л,

г — Н) =

х (г — Л,

— Л,

s — h) =

=

х (г — /г,

s — Л,

— h) =

к (s — ht

— h>

г — К) =

е= х (s — А,

г — Л, — h)\

у. (Ну

Гуs) =

х (— г у

s — гу Н— г) =

х (Л — л, — г,

s — г) =

=

х (Л — г, s — г,

— /•) =

х (s — г, — г,

И — г)=

=

х (s — Гу

h - г

,

— г);

х (Л,

г,$) =

х (— s, г — s,

Л — s)

=

х (Л — з, — s,

г — s) =*

=

X (Н — Sy Г — S,

— s)

=

X (г — S, — S,

Н — s) =Э

732

РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ

Приложение В*

Г л а в а

8 ,

у п р а ж н е н и е

12 .

Имеем

оо

8

(У! — И ) а (Уз — И )

=

2

Y r Y p

Y e & V - r ' W ’ s - e =

=

*з

2

YrYr+s-r

г = — ОО

П оскольку

Cov [{yt — (l)4,

г/s] =

8 (yt —

n )2 (ys — ц), TO

.

г

Cov {у, С0) =

1

2 1

8(г/< — (i)4 (j/s — (*) =

/,s= I

=

- ^ f -

2

I E

YrYr+ s - i

f ,s = l

/■=—oo

и отсюда следует (i). Тогда (i) по абсолютной величине не превосходит

-y-max|Yrl

5 ]

I Yr I

£

(* ~

1Y/-+ft I

Г

Гс=_оо

Л==-(Г-1)

ОО

В силу

леммы 8.3.1

вторая

сумма ограничена сверху своим пределом 2 | 7л1*

h — — ос

Отсюда

и следует (а).

Г л а в а

8 , у п р а ж н е н и е

17 . При сделанных предположениях Cov (t/tySi y ty s)=*

=

о4, t

Ф

s,

Cov (y2t , tfy =

2a4 +

x 4 и Cov

(yty s,

y t,y s,) =

0 в остальных случа­

ях.

Поэтому

[см.

(76) ]

для

% Ф ± А /

т

(2лТ )2 Cov [ /

(X),

/ (Я')] =

2 1

^

(<-

s>+lV U ' - s'> Cov (M s , yt-yS’) =

t,S,t',$'=1

7

=

7 x 4 ■+ a 4

2

[ei(M -*/)(/-s ) +

<,s=1

sin8 - i -

(X +

X') T

sin8 - £ - ( X — X') Г

= Т у 4 4- о4

sin8 - i -

(X +

X')

sin8 - ± - ( X - V )

Заметим, что /

(A,) =

/

(— h). Выражения для дисперсии представляют собой част­

ные случаи

формулы

для

ковариации.

Г л а в а 8 ,

у п р а ж н е н и е 2 6 .

В

силу

(45)

оо

оо

2

a2 (К) =

о4

2

YsYs-fftYs'Ys'-{-ft ^

f t ,s ,s ' = — оо

* о4 max | у/

|

2

IY S M

Y S+ A I • |Y *1 *

• о4 max | y t | 2

I Y s | )