Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 7172 / 7672 73 74 75 76 > Следующая >>>

f l 3

Нормированные спектральные плотности исходного (сплошная линия) и подоб ранного процессов для у = 0.7.

Рис. А .2 .9 .

Нормированные спектральные плотности исходного (сплошная линия) и подоб ранного процессов для у — 0.9.

714

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

Приложение А.

Для каждой из указанных трех реализаций в табл. А.2.2 приве дены значения выборочной дисперсии и последовательность выбо рочных корреляций. Умноженные на 2л и деленные на выбороч ную дисперсию С0 значения выборочных спектральных плотностей для этих трех случаев приведены в табл. А.2.3. Соответствующие графики построены на рис. А.2.4—А.2.6. В табл. А.2.4 указаны зна чения оценок Бартлетта (пример С из разд. 9.2.3) нормированных спектральных плотностей при К = 20.' Графики этих оценок также представлены на рис. А.2.4—А.2.6. На рис. А.2.7—А.2.9 изобра жены графики (умноженных на 2л) нормированных спектральных плотностей исходных и подобранных (т. е. оцененных по реализа циям) процессов авторегрессии второго порядка. (Для у = 0.25 были исследованы две реализации.) Вертикальный масштаб на рис. А.2.4 —А.2.9 логарифмический, а по горизонтальной оси от кладываются значения / = 200 Х/(2л).

А.З. ЧИСЛА СОЛНЕЧНОЙ АКТИВНОСТИ

О числах солнечной активности говорилось в § 5.9. Числа сол нечной активности по Вольфу за период с 1749 по 1924 г. приведены в табл. А.3.1. На рис. 5.1 представлен график данных Вальдмейера. Соответствующая корреляционная последовательность изображена графически в § 5.9.

На основании данных о солнечной активности в каждом полуго дии с 1749 по 1901 г., полученных суммированием соответствую щих ежемесячных чисел солнечной активности, Шустер (1906) по строил спектрограмму для частот вида k!N. Полученные им резуль таты приведены в табл. А.3.2 и изображены графически на рис. А.3.1 в логарифмическом масштабе. На рис. А.3.2 представлены гра фики оценок спектральной плотности, вычисленных Шерф (1964) по ежегодным данным (1749—1924) с использованием окон Парзена (пример J разд. 9.2.3) со значениями К = 20, 40 и 60.

Т а б ли ц а А .3 .1

числа солнечной активности по вольфу, 1749—1924

ш	Число	Год	Число	1 W	Число	tod
	Вольфа		Вольфа		Вольфа
1749	80.9	1793	46.9	1837	138.3	1881
1750	83.4	1794	41.0	1838	103.2	1882
1751	47.7	1795	21.3	1839	85.8	1883
1752	47.8	1796	16.0	1840	63.Д	1884
1753	30.7	1797	6.4	1841	Ш	1885
1754	12.2	1798	4.1	1842	■Ш	1886
1755	9.6	1799	6.8	1843	19.7	1887
1756	10.2	1800	14.5	1844	15.0	1888
1757	32.4	1801	34.0	1841	40.1	1889
1758	47.6	1802	45.0	1846	61.5	1890
1759	54.0	1803	43.1	1847	98.5	1891
1760	62.9	1804	47.5	1848	124.3	1892
1761	83.9	1805	42.2	1849	95.9	1893
1762	61.2	1806	28.1	1850	66.5	1894
1763	45,1	1807	10.1	1851	64.5	1895
1764	36.4	1808	8.1	1852	S4.2	1896
1765	20.9	1809	2.5	1853	39.0	1897
1766	11.4	1810	0.0	1854	20.6	1898
1767	37.8	1811	1.4	1855	6.7	1899
1768	69.8	1812	5.0	1856	4.3	1900
1769	106.1	1813	12.2	1857	22.8	1901
1770	100.8	1814	13.9	1858	54,8	1902
1771	81.6	1815	35.4	1859	93.8	1903
1772	66.5	1816	45.8	1860	95.7	1904
1773	34.8	1817	41.1	1861	77.2	1905
1774	30.6	1818	30.4	1862	59.1	1906
1775	7.0	1819	23.9	1863	44,0	1907
1776	19.8	1820	15.7	1864	47.0	1908
1777	92.5	1821	6.6	1865	30.5	1909
1778	154.4	1822	4.0	1866	16.3	1910
1779	125.9	1823	1.8	1867	7.3	1911
1780	84.8	1824	8.5	1868	37.3	1912
1781	68.1	1825	16.6	1869	73.9	1913
1782	38.5	1826	36.3	1870	139.1	1914
1783	22.8	1827	49.7	1871	111.2	1915
1784	10.2	1828	62.5	1872	101.7	1916
1785	24.1	1829	67.0	1873	66.3	1917
1786	82.9	1830	71.0	1874	44.7	1918
1787	132.0	1831	47.8	1875	17.1	1919
1788	130.9	1832	27.5	1876	11.3	1920
1789	118.1	1833	8.5	1877	12.3	1921
1790	89.9	1834	13.2	1878	3.4	1922
1791	66.6	1835	56.9	1879	6.0	1923
1792	60,0	1836	121.5	1880	32.3	1924

716

ЧИСЛА СОЛНЕЧНОЙ АКТИВНОСТИ

А.З

Спектрограмма Шустера чисел солнечной активности.

Оценка спектральной плотности для чисел солнечной активности за период с

1749 по 1924 г.

					717
		Таблица А.3.2
	СПЕКТРОГРАММА ШУСТЕРА ДЛЯ ЧИСЕЛ СОЛНЕЧНОЙ АКТИВНОСТИ
Частот Период		Спектрограмма	Частота	Период	Спектрограмма
	в годах			в годах
0.0417	24	48	0.1111	9	364
0.0435	23	17	0.1143	8.75	812
0.0455	22	112.	0.1176	8.5	770
0.0476	21	349	0.1212	8.25	933
0.0500	20	298	0.1250	8	177
0.0526	19	35	0.1333	7.5	264
0.0556	18	9	0.1356	7.375	173
0.0588	17	83	0.1379	7.25	106
0.0625	16	278	0.1403	7.125	149
0.0645	15.5	340	0.1429	7	99
0.0658	15.25	436	0.1455	6.875	18
0.0667	15	434	0.1481	6.75	52
0,0680	14.75 *	432	0.1509	6.625	49
0.0690	14.5	342	0.1538	6.5	1
0.0704	14.25	474	0.1568	6.375	7
0.0714	14	278	0.1600	6.25	5
0.0727	13.75	550	0.1633	6.125	24
0.0741	13.5	696	0.1667	6	102
0.0755	13.25	552	0.1686	5.93	54
0.0769	13	198	0.1702	5.875	122
0.0784	12.75	21	0.1739	5.75	236
0.0800	12.5	105	0.1778	5.625	128
0.0816	12.25	675	0.1818	5.5	224
0.0833	12	1464	0.1860	5.375	129
0.0843	11.86	1951	0.1905	5.25	15
0.0851	11.75	2338	0.1951	5.125	31
0.0870	11.5	3700	0.2000	5	12
0.0889	11.25	4230	0.2051	4.875	97
0.0909	11	2724	0.2105	4.75	99
0.0930	10.75	742	0.2162	4.625	70
0.0952	10.5	853	0.2222	4.5	25
0.0976	10.25	2026	0.2286	4.375	41
0.1000	10	1677	0.2353	4.25	9
0.Ю26	9.75	1050	0.2424	4.125	109
0.1053	9.5	1313	0.2500	4	29
0.Ю81	9.25	603	0.2778	3.75	24
			А

Л И Т Е Р А Т У Р А

А .1. Беверидж (1921), (1922), Гренджер и Х агс (1969).

А.2. Вольф (1965).

А.З. Шерф (1964), Шустер (1906).

Приложение В

РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ

УПРАЖНЕНИЙ

Г л а в а 2 , у п р а ж н е н и е 7 . П оскольку { (у — Zb) =* 0, то

8( у — zb) (ь— Р)' = S( у — zb)ь' =

=8 (I — ZA—IZ') yy'ZA- 1 -

= (I — ZA_ ,Z') (o2I + ZPP'Z') ZA_1 = 0 .

Г л а в а	2 , у п р а ж н е н и е 8 . Уравнение А В =							I разбивается на два уравнения
				А ц В 1а +		А 12В22 = 0 ,
				A J I BU +		А 22В22 =		I.
И з первого находим, что В12 =					— A7J1A 12 В22 и отсюда получаем (а). Подстановка
выражения для		В12	во	второе	уравнение		дает
				(А22 — A^Aj^AiJ В22 = I.
Таким образом,		матрица		А 22 — А 21 A j^ A ig			невырождена			и справедливо (Ь).
Г л а в а	2 , у п р а ж н е н и е 10 . (а) Пусть В — матрица коэффициентов регрессии
zj2) на	Тогда
<-1			<=1			В ' - А П Ч *			В = А 1А Ц 1.

			z j2) = z f ] — BzJ1* = z{2) —					A jjA J j'z j1*.
Пусть b’ O	— вектор		коэффициентов			регрессии		y t на	z^K	Тогда

к " " '- ап' /i-;1

Приложение В. РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ

		й =* _ь’<		=*- 2					'А^.
						т=*1
		%yt = P'z< —2		P'ZxZ^'An'z1/) =
			Tel
			T
			- ^ - S ( P	(I)'P(2>’)(			;2)j Z<,)'AH4				,)
			Tel
			+					^	ZW	A	^ 1» -
								Tel
											T * 1
			- ^ ' ( ZP )-A 21AII,*1,,)= P (2,'^ 2)-
	(b) Нормальные уравнения для					l r 2) имеют вид
0)			S	^	-		2	W
			М			t=l
Подстановка в (i) выражения для					*~(2)		дает
Подстановка в (i) выражения для					z/		дает
2	(42> -	аяа й ,^ ,)) (л — 2 ^ 4 1,'атт14 1))							=
/ «	1		\	Т = 1				/
				-	£	(«Iй -		АяАйЧ"> <«Г ~
				/= * 1
Последнее соотношение можно переписать в виде
(11)		2	z/2^ / — ^ А ц 1 i		Z/*V/= (^22— ^21 Ац1А\|2) Ь^.
		/ e	l	/ =	1
В	то же время		нормальные уравнения				для	Ь(1) и		Ь(2)	имеют вид

719

Ь1!|-

Aub(I>+ A12b<2>= 2z<V

/=1

АиЬ(,) + А22Ь(2) = 2 *(2)иz?'Vt-

/= 1

Первое из них дает

ь(1) = - Ац'А,^2) + А,,1 2 z<V

/el

Подстановка последнего выражения во второе уравнение приводит его к виду

- а21ап'а12ь<2>+ а21ап12 Фи* + а22ь<2»= 2 *}2)Л.

/«1

/-1

совпадающему с (И).

720

РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ

Приложение В

Г л а в а

3 ,

у п р а ж н е н и е

5 . Выражение,

содержащееся

указании, равно

7 Гр+1 /Р +

ft __ f+l

‘

i= l

L k=0 \

7+1

первая

сумма в

указании равна

t=2

Г л а в а

3 ,

у п р а ж н е н и е

7. В соответствии

с упр. 5,

(k+1) г, (л =

(г + i)ft+‘ - 1

S o (ЛI

где ф0 (7)

7 . Из этого соотношения

поочередно находим

ф1

(7),

...» ф8 (7).

Г л а в а 3 , у п р а ж н е н и е

3 0 . Условия ортогональности

<p* (s) приводят к r +

однородным

уравнениям

С,

S2'

+ C2

*2 /+ 2 +

- + С

s2/+2^ _ 0 ,

/ =

1, . . . ,

г.

s=»—m

s= — m

s = — m

Матрица

коэффициентов

имеет поэтому вид

г п

(*>

S2.........S4r)' (1,

S2. . . . .

S2r),

s = —m

из

соотношения

(

* *

s=—m *t=0

вытекает,

что

х0 =

s =

•••» /я.

Если

m >

г, то

существует

/=1

единственное решение * 0 =

xi =

... =

0 и

матрица коэффициентов положительно

определена. Таким

образом,

она

будет

невырожденной

и ф* (s) =

^ s H - c3s3 +

... + c2r_i

s2r~ ] +

s2^

Из

предыдущего

вытекает

также,

что

ф*| 2 т + 1

(s)

при четном

содержит

только четные степени

Г л а в а З ,

у п р а ж н е н и е

3 8 . В силу (2), (3) и (7) для любых

действительных

чисел

d2 и линейных

операторов

@ 2

( * i0 i +

*2 0 г) (^ iЩ +

dyPt) =

cx( ) i (dxut -j- d^pt) -)- c20

2 (dxut -j-

d 2vt) —

(di& iU t +

d 2()iV t)

c2 ( d j 0 2ut +

d 2( ) 2vt)

(Cl ( ) l Щ +

c 2 & 2 Ut)

(ClO l^/ 4" C2 & 2 Vt)

^1 (clO l

+ c 2& 2) Ut +

^2 (*l6 l +

C2 0 2 )

7 л а в а

3 , у п р а ж н е н и е 5 2 . В силу леммы 3.4.2 AQ~^] / ( / ) =

0, t

1, . . , 7

—

— q — 1, поскольку

Д ^ 1 f

(t) для

каждого

t определяется значениями f (t)

<7 + 2

точках. Поскольку тот же оператор

аннулирует тренд на всем рассматри

ваемом интервале, то тренд является полиномиальным степени не выше q в силу задачи 51.

Приложение В.			РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ							721
Г л а в а 3 , у п р а ж н е н и е				5 7 . Имеем
п				п		п		п	п
2		aifbkl^UiUjUkUi = и4 2			ацЬц + а4 2		Д//	2 bii +	2° 4 2	aijbih
/,/,Ы=i				i=l		t'=l	i=l		t,/=l
Далее следует использовать соотношение (39). См. такж е упр. 7 гл.										8.
Г л а в а		3 , у п р а ж н е н и е 6 3 . В силу (39) SQi/S Q2 == trA /trB . Дисперсия равна
				т
			Var	£	К	— £ т *)“<•
			s,*=l
и искомый		результат получается			непосредственным			применением леммы 3.4.4.
Г л а в а		3 ,	у п р а ж н е н и е	6 4 .		Случайная	величина
			/ г		и 'А ти
			/ г		u 'B 7u
					u 'B 7u
							а	и 'А ти — а а2
■■YT	а а 2 + (u 'A r u — а а 2)				а		Т	+	Ра2	а
					а		Т	+	Ра2	а
	Ра2 +		(u 'B 7u — Per2)			= у т		u 'B 7u — Ра2		р
	Ра2 +		(u 'B 7u — Per2)		р			u 'B 7u — Ра2		р
	*						1	+	р а 2	-

имеет предельное распределение, совпадающее с предельным распределением

случайной	величины
	Ут	а	u'Ay-u — а а 2		В 7и — (ia2		__ “ 1.
		Т +		Р	Ра2		Р Г
которое, в	свою	очередь, совпадает с			предельным	распределением величины
ju 'A ^ u		— а о 2	а	и'Ъ ти —	ро2 \| У ?	[u 'A ^u — (a/P) ii'e ^ u ]
V T [	pa2		p	po5	I =		p^

Отсюда вытекает, что рассматриваемая в задаче статистика имеет в пределе нор мальное распределение с нулевым средним и дисперсией

W " Var (u ArU “ T u'Br")•

Результат, содержащийся в указании, получается непосредственным применени

ем упр. 63 для каждого фиксированного Т. Если	= ... = a f y /b f f l, то
atP = kb\P> t — 1, ..., Т %для некоторого k, и а =	/ф. Тогда


	$ - ) < > - « •	< - • ......... г,
для каждого Т. Относительно более общего результата см. упр. 34 гл. 8.
Г л а в а 4 у у п р а ж н е н и е 6 . Элементы искомой матрицы Р можно найти из рас
смотрения равенства N = МР, используя соотношение			— cos X + i	sin X.
Более	прямой метод состоит в использовании соотношений cos (2я — X) =			cos X
и sin	(2я — X) *= — sin X для получения результатов типа		(9) — (13) в несколько

722	РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ УПРАЖНЕНИЙ	Приложение В .
ином варианте. Например, что касается соотношений (9), то
J	C O J- ^ / COS	ft <	[7721.
t S	i=\
Далее матрицу P находят непосредственным перемножением, Р в		M 'N , и	исполь

зованием полученных вариантов соотношений (9) — (13). Если Т четное, то р1Т =■

в 1» P%t e P&j—t а ^ К 2» P#+v 6=3 P2/-f-l,T—t e t e 1,...,

..., 772— 1, p Tj / 2*=*Ua все остальные элементы P равны нулю. Если же Т нечетное,

то р\Т в 1, p2ttt «= P2ttT_t 1=3 2>02Н-М “ P2t+i,T—t “ VK2* * =*

= 1 ,..., (Г — 1)/2, а все остальные элементы равны нулю.

Г л а в а 4 , у п р а ж н е н и е 18 . Используя соотношения (10) — (13) и (33), можно записать:

		1	п	__	__
	«о= — 2			= У’
		п ш
	....	2	V	-	2яй .
	a ( k h ) = —		^ y t C O S - JJ- 2 ,
	6(М) = - L 2 j '< sin- ^ - ;«					ft=1......... я/2 -		1,
	аГ/2 =	-JT 2		Й ( -	*)'•
Для сравнения можно взять соотношения (17) и (18),							соответствующие п —"12,
Л па 3. Положим
* * =	] / - f -	( у з * ,		а (1ft), Ь (1А), а (2А), . . . .			Ь	ft), / 2 « г/2) ,
У* =	(0i. • • •. 0п)'-
В силу соотношений (26) и (27) § 4.2 у* — Мк, где							матрица М* ортогональна,
И
	ft	2	(0/-0)2 = А[у'у -			лу2] = А[х'х -		nag].

Последнее, же является числителем в (30). Наконец, заметим, что в силу (15) и отмеченного выше

-s

/=1 /=0

л/1 - 1

-2 2 (0/+П/-Л)*- *-1 /-0

<<< < Предыдущая 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 7172 / 7672 73 74 75 76 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб4Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf