Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Статистический анализ временных рядов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

47.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 5859 / 7659 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 > Следующая >>>

9 .4 .			АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ					583
			K j
			2 k ( i t ) k h ? 7 ) cosvgcosvhx
		g>h=l
	T—g T—h Г			oo
	s = l		t—\ L	p,q=—oo
			oo
+	a4		2	YpYp-s-H+ftTTVfl—s+/~g “b
		p,<7=s—oo
			oo
+	^4		2 Y p Y p + g Y p - s+ ^Y p ^s - fz+ ft
		0— —oo
Из этого выражения видно, что						дисперсия слагаемого		S, ограниче
на сверху величиной
<12) К? 1 sup А(дг)-2 Го					2	1т;\|-\|т;+ ,М т;М т^и -,1+
—			g, /i =l L		P,q,r=—oo
+°*			2	1 г;м г^ +,1-1т;\|-1т;ч,_,1+
		p,q,r=—oo
+«4			s	iY;i-iv;+gi-iv;+j-iY;+r+j				<
		P,r=—OO					J
<	sup		k*(x)(2a4 + x4)			oo
<	sup		k*(x)(2a4 + x4)			2	lY^I • IYJI'IY;\|* lYm =
—						p,<7,r,m =a— oo
=	sup		А2 (дг)(2a4 +		KJ / 2		I Ys \|V.
—						\lsl>n	/

которая не зависит от Г и стремится к нулю при п -> оо. Подобным же образом,

<13)	VarS^-^i- 2			A(^ r)* (^ r)cosv^cosv/ix
			g»ft=l
		71—g Г —ft		OO
		X 2	2	2	YpY^YrYmCoV («s-p»s+e-e, VtrVt+h_ m) <
		s = l	/=1 p,q,r,m=—oo				/ 2 i v . i V .
	<	sup			2 I Y . IY		/ 2 i v . i V .
					\lsK n	/	\lsl>n	/
Этой величиной ограничена сверху и						дисперсия		слагаемого S 2.
Используя		полученные		соотношения, неравенство
(14)	8 [(t/г —• 8t/г) —1( £ / —■8£/m)]2 =					Var (Sx -j- S2		S3)
					<	3 (Var Sx + Var S2 + Var S3)

684 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9 .

и следствие 7.7.1, получаем, что предельное распределение разкости U T — & U T является пределом по п предельных распределений раз

ностей U fn — &Urn-

Что касается 0т п, то эта величина является действительной частью суммы

В то же время, математическое ожидание квадрата разности между действительными частями (15) и

(16)	1	~ -	2	y ^	y se ~ ^ x
	у т к т		г , 8 = _	п
					T - h
					X
стремится		к 0 при Т - * •			оо. Действительно, для фиксированных г

и s разность между суммируемыми величинами в (15) и (16) состоит из всех тех членов сумм по А и по q, которые входят в одно выраже ние и не входят вдругое. Число таких членов не превосходит А К т п + + В Т п + С п а, где А , В а С — вполне определенные константы (см. упр. 27 и 28), сами они некоррелированы (см. упр. 29), а мате матические ожидания квадратов их действительных частей не пре восходят

(17)	( шах	\ y r \)A sup k 2 ( x ) o * / ( T I (г).
	\—п£г%п	) —

9.4.		АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ							585
Отсюда следует, что математическое ожидание						квадрата соответ
ствующей разности для каждых г и s стремится к нулю при Т									оо.
	Если функция k (х ) непрерывна на [—1, 1], то величина k							l(h	+
- h r	— s)/KT\ для достаточно больших Кт и \| г \| <					n, \| s \| < п,		\ h	\| <
<	Кт, \|h +	г — s \| < Кт будет сколь угодно близка					к значению
к (h/Кт). Поэтому разность действительных частей (16) и
< Ш ,		/<„, (V, V	* ( £	) ^	^	-
	*	h—\		<7=1
				mIn (К	2 n , T — q)
			У™~т	£	2	k [ - K 7 ) etvho^ + h’
			У™~т	£	л=\|	'	'
где /(„){v)		2 y / vr	также имеет сколь угодно				малое	сред
неквадратичное отклонение. В свою очередь при Т -►							оо стремится

к нулю и среднеквадратичное отклонение разности действительных частей (18) и

<19)	'<«) (V)	т		« т	. h .
<19)	'<«) (V)	У	V K j	2	M T< 7 ) C0S vh v <>v*+h =
	/ Г		V K j	2	M T< 7 ) C0S vh v <>v*+h =
		<7=1		S i	> T '
					= / < n ) ( v ) - j 7 = - 2 > ?r,
где
			K T
<20)	W qT =	у щ -	2	k (T^T) COS vh vQvq+h, q = \ , . . . , T .
Процесс {W ,,T } является стационарным процессом						с конечной за
висимостью. Более того,
(21)					% W qT = О,
(2 2 )	8 WqT =	-jq^	Y i	k [ т т ) k (т ^ г ) cos v £ co s v/t		—
			g./*=l

/1=1 N '

= -y- 2 *2 (7^-) (1 + COS 2\h)/KT,

S ? \ Г /

586 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Г л . 9 -

Кт	* (7 k ( / Г Г ) х
(23) tW ,TW „ r.г = - ^ Д	* (7 k ( / Г Г ) х
X COS V g	COS v h & V q V q + g V q + r V q + h + r ^ O ,	Г ф 0..

В силу этого дисперсия выражения (19) равна умноженной на /(2П) (v)

величине (22). Последняя же при v Ф 0, ±

я имеет предел

Кт

(24)

lim

“ ‘

“

Kf-*00 2

k * (

К т )

К т

d x >

а при v =

0 или

v =

± я

— предел,

равный

удвоенному значе

нию (24).

одна последовательность целых чисел, при

Пусть { N T} — еще

чем K T/N T -*• 0 и N T/ T

-* 0 при Т

оо. (Такой, например, являет

ся последовательность

N T

— \ \ f Т К т \)

Пусть

М т — наибольшее-

целое в ряду Т Ш т. Положим

(25)

ZjT — -р==- [^(/-DWr+ur +

* • •

W jN j—Кт.т],

f = 1» • • • , N\.T*

Тогда

Zir,

..., ZMTT — независимые

одинаково

распределенные

случайные величины с 8 Z/7- =

0 и 8 Z/r,

равным

умноженному на

1 — K TIN T

выражению (22). Более того, четвертый момент

(26)

Щ т =

-Jr " Т%

Т W trW sT W rT W iT

N T

t,s,r,f=1

оказывается равномерно ограниченным. Действительно, хотя Wtr квадратично зависит от переменных vr, тем не менее все четвертыемоменты величин WtT ограничены, так как они включают в себя моменты случайных величин vr лишь до четвертого порядка. Этосвязано с тем, что в каждом WtT произведения переменных vr име ют различные индексы г и что случайные величины vr независимы.. Поскольку iWtTWsrWrrWuT = 0, если наименьший из индексов

отличен от трех остальных, то в (26) имеет смысл рассматривать


только		слагаемые	вида		&W*T, &WiT Wsi, s > t ,				и	%W2tTWsTWqTt
s >	t,	q > t. При	этом		количество		слагаемых вида			8 W\r	равно
NT— Кт; количество				слагаемых вида				ftW^WsT	(s > 0 — самое
большее 2 (NT — Кт) (Кт — Кт — 1);								количество		слагаемых ви
да	%W\rWlT (S >		t)	— не		больше	3 ( N T — Кт) (N T — Кт— 1)-
Что	касается слагаемых				вида '&WWWSTW(iT, s >				t,	q > t,	э ф q,
то они		равны нулю, если \|s — q\ >					Кт- Поэтому число ненулевых
слагаемых такого			вида		не	превосходит 6 (NT — Кт) (NT — Кт —

— 1) Кт- Возникающий здесь бесконечно возрастающий множитель

■9.4.	АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ		587
Кт компенсируется	тем, что	I B W ^ W STW^T \| <! 4а8 sup	k* (х)1Кт•
Слагаемые остальных типов		равномерно ограничены	по Т (см.

упр. 31). Таким образом, четвертый момент SZ?r оказывается равно

мерно ограниченным	по Т . Применяя центральную предельную
теорему Ляпунова, получаем, что нормированная сумма
	м т
<27)	1
<27)	2 ^

У Щ

/=1

имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, равной (24) при v Ф 0, ± я и в два раза превышающей (24) при v = 0, ± я. (Для этого достаточно в теореме 7.7.3 взять

и качестве wj отношение Ztr /[MrSZ^]1/» и положить б = 2 .) Поскольку же среднеквадратичное отклонение разности

	1		Мг
«(28)		^ W J T	l
	У т		2 2 ir
		t= i	У Щ /-1

стремится к нулю при Т -*■ оо, то такое же предельное распределен
				т		_
м т	будет	иметь и 2			^ trfV Т .
				t=\
	Т еорема 9.4.1. Пусть					к Т
						к Т
<29)			Fr(v) =		4 r	2	A( l t ) cosvr CrT'
где k (х) — k (—х), функция k (х) непрерывна на									[— 1, И и {Кт} —
целочисленная последовательность,								такая, что	Кт	оо и К т /Т
0 при Г ->			оо. Пусть				о о
							о о
т					y t =		2	Vs^-s»
	о о
где	2	I Ys \| <	°°>	а	{*><}— последовательность					независимых и
	S— — о о									So, = 0,	So? =
•одинаково		распределенных				случайных величин			с	So, = 0,	So? =
= о2 и So? <			оо.	Тогда		У Т/Кт Цт (v) — Щт (v)]				имеет	в пре

деле нормальное распределение с дисперсией, указанной в теореме

9.3.4.

Асимптотически нормальным является и совместное распределе-

«■'N. / S

ние оценок /г (vj), ..., fT (v„) для любого фиксированного числа зна чений V.

Условия теоремы 9.4.1 можно заменить другими, в которых бу дет отсутствовать требование So? < оо. Так, например, Чон и

588 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.

Хеннан (1968) доказали асимптотическую нормальность в предпо

ложении, что		— o 2) / Y T K T	сходится	по	вероятности к ну-
	/=1
	оо
лю и	2 ls lY s< 00• Другие условия нормальности указаны Ро-
	S = — о о
зенблаттом (1959).
Рассмотрим теперь нормированное отклонение
(31)	7^7 I% (v) - / (v)l =		1/г (v) -		Щт (v)J +
			+	]	/	[S/r(v) — /(v ) 1.

Пусть р и q	— величины, определенные в теореме 9.3.3. Если р <
< q и К т /Т	-> 0 при р < 1 или К ?/Т -> 0 при р > 1, то вто

рое слагаемое в правой части (31) стремится к нулю, если только

предел	lim Т/КтР+1 конечен. Если же q < р и Кт+1~ р/ Т -> 0 при
	Г —>оо
р < 1	или /(V r	0 при р > 1, то оно будет стремиться к нулю,

если Т/Кт+1 0 . Как бы то ни было, в обоих этих случаях

предельное распределение левой части (31) совпадает с предельным распределением первого члена правой части (31).

Следствие 9.4.1. Если выполнены условия теорем 9.4.1 и 9.3.3 и

если	предел	lim T /K rP+i конечен при р < . q	или Т/Кт®+1 -*■ 0 при
		Т-+0о ,
q <	р и Т	оо, mo Y Т/Кт I/г (v) — f (v)]	имеет в пределе нор

мальное распределение с нулевым средним и дисперсией, указанной в теореме 9.3.4.

Отметим, что для того, чтобы смещение было пренебрежимо ма лым по сравнению со случайной частью (31), последовательность Кт должна возрастать, быстрее, нежели в том случае, когда дисперсия

и квадрат смещения имеют один и тот же порядок. Как и ранее,

/ч

при указанных условиях оценки /У (vj), ...» /У (v„) имеют асимпто тически нормальное совместное распределение для любого фикси

рованного числа значений v.

Если обозначить т2 = j		k (х) dx (v Ф 0 ,		± л),	то, перефразируя
	—I		0
следствие 9.4.1, получим, что для / (v) >			0
13*1	1 / T ? r ( v ) - / ( v )	f ~ T	1	f? r W	j l

(32)

V W

x/(v) “ У -ЩГ т [ /(v ) “ 1J

9.4.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ

589

имеет стандартное нормальное распределение с нулевым средним в единичной дисперсией. Пусть число t (е) таково, что вероятность по падания стандартной нормальной случайной величины на отрезок {— t (е), t (е)] равна 1 — е. Тогда событие, состоящее в том, что (32)» попадает на этот отрезок, можно записать в виде

(33)-	fт(v)	< 7 (v )<	/г (v)
	1 т/(е) у*' К^/Т		ч ф О , ± я .

Последнее соотношение определяет для / (v) доверительный интер вал с уровнем доверия, приблизительно равным 1 — е для больших: Т (в условиях следствия 9.4.1).

Мы можем воспользоваться также следующим утверждением.

Если Yr — g (Х т), где р limXr = р, Рг (^г — р) имеет при.

Т-*оо

Т —►оо предельное нормальное распределение с нулевым средним4


и дисперсией а2 (рг	оо),	a g (х) имеет производную g r (р) в точке-
х — р, то Рг [YT — g (p)J		имеет в пределе нормальное распреде-
ление с нулевым средним и дисперсией от2 [g' (р)]2. Если			Хт = fr	(v)‘
и g (х) = log х, то ц =	f (v), g (р) = log / (v) и g’ (p) =		1// (v)	при

/(v) > 0 .

Теорема 9.4.2. В условиях следствия 9.4.1 величина

<34)

V Ь "°SfrM -

f Ml = | / 7ГТlo« T W -

при f (v) > 0 имеет предельное нормальное распределение с нулевым

средним и дисперсией, равной т2 = J k2 (х) dx при v Ф 0, ± л

и равной 2 т2 при v = 0 , ± я.

Сформулированный результат приводит к доверительным интер валам

(35)	log/г (v) — т( (г)		<	log/(v) <
				< log/г (v) +	тt (е)	Ц г -г
или
(36)	f r (V) Г	*	< t	(v, < Гг <v>	.

Из теоремы 9.4.2 можно заключить, что информативным графи ческим представлением оценки спектральной плотности является'

представление в виде зависимости от v ее логарифма log /г (v), по

590 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.

скольку в этом случае (если v Ф 0 , ± я) асимптотическое стандарт ное отклонение является константой и притом известной, именно

т V K r fT .

Блэкмен и Тьюки (1959, стр. 2 2 ) предложили аппроксимировать

распределение оценки f T (v), являющейся	квадратичной	формой
от наблюдений, распределением случайной	величины р/ (v) х«. где
Ха — случайная величина, имеющая х2-распределение с а		степеня

ми свободы, а а и р выбираются так, чтобы первые два момента ве личины Р/ (v) х£ были равны соответствующим приближенным момен

там для	/г (v). Таким образом, при v ^ O , ±			л возникают условия
(37)		Ра= 1,
(38)		2 р2а = — г-	J k * (x )d x .
Тогда	а		1	-1
(39)	а	— — ОТ	Кт $ ki (x )d x
		р	-1

и для / (v) > 0 в качестве случайной величины, имеющей х2-распре-

деление	с числом степеней свободы а, указанным в (39), следует
взять	-1
	-1
(40)	27yr (v) K r f f y ) J » ( x ) d x

Если среднее значение fi неизвестно, то оценки для / (А») можно

построить с использованием сгт или сгт. Положим

	Кт
<«>	Л М - - 5 Г t дLг * (T?r)cosvr<i-
Пусть m	— min (р, q). Тогда

(42)iC W H v )-/(v )] =

=/(?[*/r(v)'-/(v)| +

	Кт
trffl
IXf	S	k ( - Щ Г ) C0S VrS K T - Cr T) =*
2л

- /C ? [ t f r ( v ) - /( v ) 1 +

Km *

+ -Jf +

^ ( t r ) C°S Х Г П ( Cr T C' ? ) ‘

9.4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ 591

Второе слагаемое в правой части (42) не превосходит по модулю

(43)

к т

sup

I ft (x) I

T l (c;T — crT) |.

— f -

—

r = — K.T

Из

теоремы

8.3.2

следует,

что

если

|< т (г)|< о о ,

тх>

оо

/-=—-00

| Т (Sc*

— 8сгГ) | <

| о (s)|

для

всех Т

и г . Поэтому (43)

не превосходит

S=s=— 00

(44)

-Jj-

sup

|ft(* )|

к т

(2/C r + l) .

|< r ( r ) |- f

Последняя

же

величина

стремится

к 0, если

только К т+1/Т ->- О

при

оо.

Теорема

9.4.3.

Пусть

/Sj

(v)

определяется

соотношением (41),

/г

причем ft (*)

ft (—х),

ft (0)

I ft (x) | <. M

для

некоторого

и всех |х |

lira

[1 — ft (*)]/|хI"

— ft для некоторых ? > 0

k >

Пусть

{Кт}

— целочисленная

последовательность, такая,

что Кт

°о п /т Г -► оо. Тогда, если

(45)

| г |р| а (г) | < оо

/-ШВ»— ОО

для р >

9 и р >

1 ы если Кр-'/Т

0 при Т

оо, то

(46)

l i m

/ C

8 / H

v ) - / ( v ) ] = - 4 r

5 |r p c o sv r o (r ).

Г-юо

/'= —со

£слы даее (45) выполняется для

р <

<7ы Кт+х1Т ->■ 0 при Т -*■

оо,

то

(47)

Н т К т [&Гт (V) — / (v)] =

Г ->оо

Ковариации оценок /г (v) удовлетворяют соотношению

(48)

-^ -С о у [/* (Я ),

Tr ( v ) l -

КТ

Кгк

( 7 ^ ) cosA* “ s 'ArCov4 r . <М-

592 ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Гл. 9.

•Отсюда для 2Кт <

Т получаем, что

<(49)

Cov Т т(*). % (v)l ~ ^ Г ;С ov [?г (А,),

/г (v)J | <

к т

< * > ■ * , - Ж

k?(x)

\ т Cov(cgГ» cAr)— 7

Cov(cgr, Cftr)|.

Возьмем для удобства р =

0 . Поскольку

т -8

Г - g

‘(50)

с* =

Су. -~г 2

уД

% + 2

Уь

\v?

У*

g i

t= \

\s* = g + \

s=l

S=1±

T — g

ceT —

- f T

ДО,

j ’a

, 2 .

у л »

0 <

2 g

r <

r _ l f

*=1

s—=g-fl

t,s = l

рассмотрим для 0

ft <

Г — 1 , 0

< 2 g < Г — 1

T—g

•

,(51)

г -*

TCOV(CA7,

HtUs + ’W' 2

Utl/s) =

S=g+I

(,s=I

7—Л

r 7 - 7

ЫУгУг+н — o(h)][yty$ — a ( t ~ s)l +

= -yr 2

- 2 1 2

r= l

/=1

ls=g-fl

+ -f- 2 s [?,»+>— «(41IM . — о((— s)l] -

—ТГ S if 2				l«(>--0o.(r+ ft-0 +
7		r = \ (=1 ls= g+ l
+	cr(r— s)a(r +			ft— 0 +	x (^, t — г, s — r)j-f
		7
+ - I - 2 [ o ( T — 0 о ( г + Л — s) + a ( r — s ) a ( r + A — 0 +
	1	S=1
+	x(ft, * — r,		s — r)]J.
Это выражение по абсолютной величине не превосходит
№	- f Ы 2		\o(t)\] +		2	\|к(г, s, oil.
	‘	l l /= - 0 0		J	r,s,/=-oo	J

В теореме 9.3.4 предполагается конечность входящих в (52) сумм. Рассмотрим еще

/53) T C o v f J r i C ^	м , + { >	'	м ] ,	- y r S ( rS » ,» .+
L 7 #=1 \s= g + l	7	s=*1	/	7 r=I 'g=A-f-l

+ y^.2 УгУ^ —

<<< < Предыдущая 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 5859 / 7659 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202310.29 Mб4Статистические методы анализа и обработки наблюдений..pdf
#
12.11.202318.02 Mб6Статистические методы в строительной механике..pdf
#
12.11.20232.4 Mб1Статистические методы интеллектуального анализа данных..pdf
#
12.11.2023410.65 Кб3Статистические методы исследования качества объектов производства..pdf
#
12.11.20231.76 Mб0Статистические методы принятия решений с элементами конфлюентного анализа..pdf
#
19.11.202347.02 Mб4Статистический анализ временных рядов..pdf
#
12.11.202314.8 Mб1Статистический анализ геофизических полей..pdf
#
12.11.202314.63 Mб6Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1.pdf
#
12.11.202319.38 Mб0Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2.pdf
#
12.11.20236.88 Mб2Статистическое управление качеством технологических процессов..pdf
#
12.11.20239.13 Mб3Статическая выносливость элементов авиационных конструкций..pdf